Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
*) Условимся при интегрировании по всему пространству значок Rn у знака интеграла опускать.
2 Зак. 460. И. М. Гельфанд н Г. Е. Шилов, вып. 1
18 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
По этой же причине иногда удобно и для обобщенных функций сохранить обозначение f(x), как для дельта-функции, хотя теперь уже нельзя говорить о значениях .обобщенной функции в отдельных точках (так что запись f(x0) для обобщенной функции, вообще говоря, не имеет смысла). Кроме того, вместо (/, ср) мы иногда будем писать
j f(x) ср (х) dx, хотя с точки зрения обычного анализа такая
запись не имеет, вообще говоря, смысла. Например, мы
будем иногда вместо Ф(х), ср(лг)) писать J* Ь (х) ср (х) dx.
Таким образом, J* 8 (х) ср(х) dx = ср (0).
Совокупность всех обобщенных функций обозначим через К'.
4. Локальные свойства обобщенных функций. Мы
уже знаем, что обобщенные функции не имеют значений в отдельных точках. Нельзя, например, говорить, что обобщенная функция / «равна нулю в точке х0». Но высказыванию «обобщенная функция / равна нулю в окрестности U точки х0» можно придать уже вполне четкий смысл: именно, оно означает, что для каждой основной функции ср (х), отличной от-нуля только в пределах окрестности U, имеет место равенство (/, ср) = 0.
Так, обобщенная функция /, отвечающая обычной функции f(x), равна нулю в окрестности U точки х0, если в этой окрестности обращается в нуль (почти всюду) сама функция /(х). Сингулярная обобщенная функция 8 (х— Xj) равна нулю в некоторой окрестности любой точки х0 Ф хх.
Условимся также говорить, что обобщенная функция / равна нулю в открытой области О, если она равна нулю в некоторой окрестности каждой точки этой области.
Можно доказать (см. добавление 1), что обобщенная функция, равная нулю в окрестности любой точки, и в целом равна нулю, т. е. для любой основной функции ср (х)
(/. <р) = 0.
Если обобщенная функция / не равна нулю ни в какой окрестности точки х0, то х0 называется существенной
4]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
19
точкой для функционала /. Так, например, на прямой точка х0 = 0 — существенная точка для функционала f(x) = x2 (хотя в ней сама функция х2 обращается в нуль!). Конечно, все остальные точки оси х также являются существенными для f(x) = x2. Совокупность всех существенных точек называется носителем обобщенной функции /. Носитель обобщенной функции /, отвечающей обычной непрерывной (или кусочно непрерывной) функции f(x), есть замыкание множества, на котором f(x) ф 0. Носитель обобщенной функции 8 (х — х0) есть одна точка jc0. Если множество F содержит носитель функционала /, то говорят также, что функционал / сосредоточен на множестве F.
Название «существенные точки» оправдывается следующим свойством (которое будет доказано в п. 3 добавления 1): если основная функция ср(лг) обращается в нуль в некоторой окрестности носителя функционала /, то (/, ср) = 0. Отсюда следует, что произвольное изменение основной функции ср вне окрестности носителя обобщенной функции / не влияет на значение величины (/, ср); действительно, указанное изменение равносильно добавлению к основной функции ср другой основной функции <]>, равной нулю в окрестности носителя функционала /, поэтому (/, ф) = 0 и, следовательно, (/, ср-4-ф) — (/, ср).
Теперь перейдем к локальному сравнению двух произвольных обобщенных функций. Будем говорить, что обобщенные функции fug совпадают в открытой области О, если разность / — g в этой области равна нулю. Можно показать, что если fug совпадают в окрестности каждой точки, то они совпадают и в целом, т. е. (/, y)=;(g, ср) при любой ср; отсюда следует, что обобщенная функция / однозначно определяется по своим локальным свойствам. Более того, можно даже построить обобщенную функцию по заданным ее локальным значениям (добавление 1, п. 3).
В частности, мы будем говорить, что обобщенная функция / регулярна в области G, если в этой области она совпадает с некоторой обычной локально интегрируемой функцией.
Например, дельта-функция о (х — лг0) вне точки х0 всюду регулярна (и. равна нулю).
2*
20 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Одна из важных проблем теории обобщенных функций состоит в следующем: дана (обычная) функция f(x), вообще
не являющаяся локально интегрируемой, например — на
прямой. Существует ли обобщенная функция /, совпадающая с f(x) во всех точках локальной интегрируемости f(x)? Можно ли соответствие f(x)-*f устроить таким образом, чтобы обычные операции сложения, умножения на функцию, дифференцирования, которые мы определим ниже и для обобщенных функций, сохранялись бы при этом соответствии? Ясно, что положительный ответ на подобные вопросы весьма существенен: он приводит к включению в схему обобщенных функций обычных функций, имеющих неинтегрируемые особенности.
Ответы на эти вопросы имеются пока лишь частичные. См. далее п. 7 § 1, а также § 3.
5. Операции сложения и умножения на число и на функцию. Пусть даны две обобщенные функции fug; определим их сумму f-\-g как функционал на пространстве К, действующий по формуле
