Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
1. Вводные замечания. Уже давно в физике употребляются так называемые сингулярные функции, которые не могут быть корректно определены в рамках классической теории функций.
Простейшей сингулярной функцией является дельта-функция 8 (х — х0): она, по определению физиков, «равна нулю всюду, кроме одной точки х0, в этой точке равна бесконечности и обладает интегралом, равным единице». Излишне указывать, что эти условия несовместимы с точки зрения классического определения функции и интеграла.
Но мы можем попробовать проанализировать понятие сингулярной функции с тем, чтобы выявить действительное его содержание.
Прежде всего мы замечаем, что при решении конкретных задач математической физики дельта-функции (и другие • сингулярные функции) встречаютсяТ как правило, только на \ промежуточных этаддх4-_в окончательном ответе сингулярные функции или вовсе отсутствуют или фигурируют под знаком интеграла в произведени1Г~с^какоЙ^либ6 достаточно хорошей функцией. Таким образом, нет прямой необходимости отве-чать на вопрос, что так61Г~сй?гулярная функция сама по себе: нам достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения сингулярной функции и «хорошей» функции. Например, вместо того чтобы отвечать на вопрос, что" такое дельта-функция, нам достаточно указать, что для
12
ПРЕДИСЛОВИЕ
предварительного ознакомления с двумя первыми главами вып. 2. Возможны и иные планы чтения; например, вопросы, концентрирующиеся вокруг применений преобразования Фурье обобщенных функций, развиваются после главы II вып. 1 в главах III и IV вып. 2, в первых трех главах вып. 3, во второй и дальнейших главах вып. 4; как работают обобщенные функции в теории представлений и преобразования Фурье на группах, рассказано в трех последних главах вып. 4, для чтения которых достаточно знакомства с первыми двумя главами вып. 1.
В конце первого выпуска для удобства пользования им дана сводка основных определений и формул и сводная таблица преобразований Фурье обобщенных функций.
Авторы
ГЛАВА I
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1. Вводные замечания. Уже давно в физике употребляются так называемые сингулярные функции, которые не могут быть корректно определены в рамках классической теории функций.
Простейшей сингулярной функцией является дельта-функция Ь(х — xQ): она, по определению физиков, «равна нулю всюду, кроме одной точки л;0, в этой точке равна бесконечности и обладает интегралом, равным единице». Излишне указывать, что эти условия несовместимы с точки зрения классического определения функции и интеграла.
Но мы можем попробовать проанализировать понятие сингулярной функции с тем, чтобы выявить действительное его содержание.
Прежде всего мы замечаем, что при решении конкретных задач математической физики дельта-функции (и другие ¦ сингулярные Функции) встречаются? как правило, только на I промежуточных угяпях; в окончательном ответе сингулярные функции или вовсе отсутствуют или фигурируют под знаком интеграла в произведении^с какой-либо достаточно хорошей функцией Таким образом, jieT прямой необходимости отве-чать на вопрос, что так61Г~сйнг^лярная функция сама по себе: нам достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения сингулярной функции и «хорошей» функции. Например, вместо того" чтобы отвечать на вопрос, что такое дельта-функция, нам достаточно указать, что для
14 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
любой достаточно хорошей функции <р(х) имеет место равенство
Иными словами, мы связываем ^ ка^^р^^с^ннг.удярлой функцией^^Hj<uj[pjiai^KoTOpbiJELxTaBHT в соответствие этой сингулярной.функции и каждой «достаточно хорошей» функции Hej^oj-opoe вполн^е определенное число. Например, для дельта-функции &(х — xQ) число, которое ставится в соответствие каждой «достаточно хорошей» функции ср (х), есть значение ср (х0).
Но если так, то мы можем и не задумываться больше над смыслом понятия «сингулярная функция»: мы можем теперь отождествить сингулярную функцию», с- тем функционалом, о котором___конкретно__идеи ..речь,-.- это и- будет
вполне достаточным ее^ ojipejteлением_ (при. „условии,__что .
точно указан. и тот класс «достаточно хороших» „функций, на котором задан этот функционал).
Обыкновенные интегрируемые функции, разумеется, также укладываются в эту схему: для каждой такой функции f(x) мы умеем ответить на вопрос, чему равен интеграл от произведения f(x) на «хорошую функцию». Таким образом, представление об обобщенных функциях как о функционалах охватывает как «сингулярные», так и обыкновенные функции.
Перейдем теперь к формулировке точных определений.
2. Основные функции. Прежде всего нужно задать совокупность тех функций, которые мы называли условно «достаточно хорошими», на которых будут действовать в дальнейшем наши функционалы,
В качестве этой совокупности мы рассмотрим множество К всех вещественных функций ср (х) *), каждая из которых имеет непрерывные производные всех порядков и
