Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(с2+Р)\
10. Преобразования Фурье обобщенных функции ~|"
(с2 + Р)х_ М^+1)
и р ^ _|_ ^ при целых значениях X. Преобразования
Фурье обобщенной функции 8 (с2-)-Я) и ее производных (360).
§ 3. Однородные функции.................367
1. Введение (367). 2. Положительные однородные функции нескольких независимых переменных (369). 3. Обобщенные однородные функции степени — п (377). 4. Обобщенные однородные функции степени — п — т (385). 5. Обобщенная функция вида г*/, где / — обобщенная функция, заданная на единичной сфере (386).
§ 4. Произвольные функции в степени X.........389
1. Определение приводимых особых точек (389). 2. Исследование обобщенной функции Gx в случае, когда поверхность G (хь .... хп) — 0 целиком состоит из точек 1-го порядка (392). 3. Исследование обобщенной функции Gx
в случае, когда поверхность G (jq.....хп) — 0 состоит
из точек не выше 2-го порядка (396). 4. Обобщенная функция Gx(xlt хп) В общем случае (403). 5. Интегралы от бесконечно дифференцируемой функции <р по поверхностям уровня G (хх.....хп) = с (407).
Сводка основных определений и формул выпуска 1 . . . 412
Сводная таблица преобразований Фурье ......... 446
Добавление........................ 457
Примечания и литературные указания.......... 460
Алфавитный указатель .................. 464
Оглавление выпусков 2, 3, 4............... 471
ПРЕДИСЛОВИЕ
Обобщенные функции получают сейчас все более широкое распространение в различных разделах математики. В нестрогой форме обобщенные функции по существу уже давно применялись физиками.
Важную роль в формировании теории обобщенных функций сыграли работы Ж. Адамара, в которых в связи с изучением фундаментальных решений волновых уравнений рассмотрены расходящиеся интегралы, а также работы М. Рисса. Мы не говорим здесь о более ранних математических работах, в которых тоже можно было бы найти элементы будущей теории обобщенных функций.
Впервые обобщенные функции в явной и теперь общепринятой форме ввел С. Л. Соболев в 1936 г. Он применил обобщенные функции к выяснению вопроса о единственности решения задачи Коши для линейных гиперболических уравнений. ,
С другой стороны, к теории обобщенных функций вплотную подводит теория С. Бохнера преобразований Фурье функций степенного роста. Эти преобразования Фурье являются по существу обобщенными функциями и выступают у С. Бохнера как формальные производные непрерывных функций.
В 1950—1951 гг. появилась монография Л. Шварца «Теория распределений». В этой книге Л. Шварц систематизировал теорию обобщенных функций, связал воедино все прежние подходы, привлек к ее обоснованию теорию линейных топологических пространств и получил ряд существенных и далеко идущих результатов. После выхода в свет «Теории распределений» обобщенные функции необыкновенно быстро, буквально за два-три года, приобрели чрезвычайно широкую популярность. Достаточно
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
указать хотя бы на тот факт, что количество математических работ, в которых встречается дельта-функция, возросло во много раз.
В выпусках этой серии будет дано систематическое изложение теории обобщенных функций и ряда примыкающих к ней вопросов анализа. Авторы не ставили себе при этом целью собрать весь материал, в котором в той или иной мере участвуют обобщенные функции. С другой стороны, очень многие из рассматриваемых здесь проблем можно было бы трактовать и без обобщенных функций. Однако понятие_обобщен-ной.,фудкции^адляехся_удо^ным^ связующим зве^нрм_для.4>яда вопросов анализа, функционального^ анализа,теории диф-ференциальных уравнений, те^рии^ддедставлений- локально компактны-х— трушт- Ли—и—теории—вероятностей. Поэтому, быть может, название «Обобщенные функции» для данной серии выпусков по функциональному анализу является наиболее подходящим.
Перечислим вкратце содержание первых четырех выпусков серии.
Первый выпуск посвящен в основном алгорифмическим вопросам теории обобщенных функций. Его первые две главы представляют собой элементарное введение в теорию обобщенных функций. В этом выпуске читатель встретится со многими приложениями обобщенных функций к различным вопросам анализа. В нескольких его местах теоремы приведены без доказательств, со ссылками на второй выпуск. Наряду с книгой Шварца в этом выпуске широко использована статья И. М. Гельфанда и 3. Я. Шапиро «Однородные функции» (УМН, 1955, № 3). 3. Я. Шапиро написала также несколько пунктов для настоящего выпуска.
Во втором выпуске развиваются понятия, введенные в первом выпуске, обосновываются при помощи топологических средств теоремы, приведенные в нем без доказательств, а также строится и изучается большое количество конкретных пространств обобщенных функций. Базой для всего этого является изложение в главе I второго выпуска одного из наиболее элементарных и удобных для аналитиков разделов общей теории линейных топологических пространств — теория счетно-нормированных пространств.
Третий выпуск посвящен некоторым приложениям обобщенных функций к теории дифференциальных уравнений,
