Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Преобразования Фурье обобщенных функций. Случай
одного пераменного..................209
1. Определение (209). 2. Примеры (211). 3. Преобразования Фурье обобщенных функций хх+, хХ_, \х\х, \x\xsgnx (214). 4. Преобразования Фурье обобщенных функций х^ In х+ и аналогичных (220). 5. Преобразование Фурье обобщенной функции (ал:2 -\- Ьх -4- с)\ (229). 6. Преобразование Фурье аналитических функционалов (236).
§ 3. Преобразования Фурье обобщенных функций. Случай
нескольких переменных................238
1. Определения (238). 2. Преобразование Фурье прямого произведения (240). 3. Преобразование Фурье обобщенной функции гк (241). 4. Преобразование Фурье обобщенной функции, сосредоточенной в ограниченной области (245). 5. Преобразование Фурье как предел последовательности функций (249).
§ 4. Преобразования Фурье и дифференциальные уравнения ..........................249
1. Предварительные замечания (249). 2. Итерированное
уравнение Лапласа Дтои =/(250). 3. Волновое уравнение в нечетномерном пространстве (252). 4. Связь между фундаментальным решением уравнения и фундаментальным решением задачи Коши для него (253). 5. Классическое операционное исчисление (255).
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Обобщенные функции, связанные с квадратичной
формой.....................: . 304
1. Определение функций bf> (Р) и 8^ (Р) (304). 2. Обобщенная функция Р^+ (311). 3. Обобщенные функции <Р\ отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами (332). 4. Обобщенные функции (Я+Ю)* и (Р — г'О)1' (337). 5. Фундаментальные решения линейных дифференциальных уравнений (344). 6. Преобразования Фурье функций (P+rt))*- и (Р — Ю)к (349). 7. Обобщенные функции, связанные с функциями Бесселя (352). 8. Преобразования Фурье обобщенных функций (с2 -f--{-Р+Ю)х и (с2 + Я— Ю)к (354). 9. Преобразования Фурье обобщенных функций (с2 + Р)х+ и (с2 + Р)х_ (358).
(с2+Р)х
10. Преобразования Фурье обобщенных функции ^—-г—-——
(с2 + р)Х_ 1(^+1)
и ¦ j, ^_[_ ^ ПРИ целых значениях X. Преобразования
Фурье обобщенной функции Ъ(с^-\-Р) и ее производных (360).
§ 3. Однородные функции................. 367
1. Введение (367). 2. Положительные однородные функции нескольких независимых переменных (369). 3. Обобщенные однородные функции степени — п (377). 4. Обобщенные однородные функции степени — п — т (385). 5. Обобщенная функция вида rKf, где / — обобщенная функция, заданная на единичной сфере (386).
§ 4. Произвольные функции в степени X.........389
1. Определение приводимых особых точек (389). 2. Исследование обобщенной функции Gk в случае, когда поверхность G(xlt хп) = 0 целиком состоит из точек 1-го порядка (392). 3. Исследование обобщенной функции Gx в случае, когда поверхность G (xlt ... , хп) = 0 состоит из точек не выше 2-го порядка (396). 4. Обобщенная функция Gk (хъ ..., хп) в общем случае (403). 5. Интегралы от бесконечно дифференцируемой функции <? по поверхностям уровня G (хи хп) = с (407).
Сводка основных определений и формул выпуска 1 ... 412
Сводная таблица преобразований Фурье ......... 446
Добавление........................ 457
Примечания и литературные указания.......... 460
Алфавитный указатель .................. 464
Оглавление выпусков 2, 3, 4............... 471
ПРЕДИСЛОВИЕ
Обобщенные функции получают сейчас все более широкое распространение в различных разделах математики. В нестрогой форме обобщенные функции по существу уже давно применялись физиками.
Важную роль в формировании теории обобщенных функций сыграли работы Ж. Адамара, в которых в связи с изучением фундаментальных решений волновых уравнений рассмотрены расходящиеся интегралы, а также работы М. Рисса. Мы не говорим здесь о более ранних математических работах, в которых тоже можно было бы найти элементы будущей теории обобщенных функций.
Впервые обобщенные функции в явной и теперь общепринятой форме ввел С. Л. Соболев в 1936 г. Он применил обобщенные функции к выяснению вопроса о единственности решения задачи Коши для линейных гиперболических уравнений. ,
С другой стороны, к теории обобщенных функций вплотную подводит теория С. Бохнера преобразований Фурье функций степенного роста. Эти преобразования Фурье являются по существу обобщенными функциями и выступают у С. Бохнера как формальные производные непрерывных функций.
В 1950—1951 гг. появилась монография Л. Шварца «Теория распределений». В этой книге Л. Шварц систематизировал теорию обобщенных функций, связал воедино все прежние подходы, привлек к ее обоснованию теорию линейных топологических пространств и получил ряд существенных и далеко идущих результатов. После выхода в свет «Теории распределений» обобщенные функции необыкновенно быстро, буквально за два-три года, приобрели чрезвычайно широкую популярность. Достаточно
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Обобщенные функции, связанные с квадратичной
формой . . ....................' . 304
1. Определение функций (Я) и (Я) (304). 2. Обобщенная функция Р*. (311). 3. Обобщенные функции отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами (332). 4. Обобщенные функции (Я+ДО)* и (Я — Ю)х (337). 5. Фундаментальные решения линейных дифференциальных уравнений (344). 6. Преобразования Фурье функций (Я+Ю)^ и (Я —гО)^ (349). 7. Обобщенные функции, связанные с функциями Бесселя (352). 8. Преобразования Фурье обобщенных функций (с2 -f-_|_Я + /0)* и (с2+Я — Ю)А (354). 9. Преобразования Фурье обобщенных функций (с2 + Р)х+ и (с2 + Р)х__ (358).
