Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
любой степени — .
Функция ф., (х), полученная из функции еч<у (чх) смещением вдоль
биссектрисы хх = ... = хп на отрезок —^—, обращается в нуль вне
области Н и при достаточно большом v обращается в нуль вне пересечения этой области с произвольно малым шаром с центром в начале координат. Далее, последовательность функций 4% (-*)> как легко видеть, при ч->оо стремится к нулю в пространстве /С. Поэтому если бы существовал функционал /, регуляризирующий интеграл (1), мы должны были бы иметь
(/.40—0. (5)
Но так как в окрестности точки х = 0 функция фч (х) обращается в нуль, а вне начала функционал / совпадает с функцией f(x), удовлетворяющей неравенству (4), то 1
(/, Ф») = J* / (*) «ь, (х) А* > JV (г) ср (чх) dx.
Интеграл от функции <р (vat) равен, очевидно, ; мы получаем, таким образом, оценку
(f>M>$Ff^Yn). (6)
8] § 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 27
так как F(r) возрастает быстрее любой степени-^-, то числа е„, заданные по формуле (7), стремятся к нулю быстрее любой степени — , что нам и нужно. Но тогда, как показывает неравенство (6),
числа (/, фч) превосходят единицу и, следовательно, не стремятся к нулю в противоречие с соотношением (5).
Поэтому в данном случае интеграл (1) не может быть регу-ляризован.
Замечание. Этот результат не означает, что в анализе обобщенных функций вообще нужно отказаться от рассмотрения функций с особенностями выше степенных. Мы рассматриваем пока только основные функции специального вида (пространство К). Во втором выпуске будут указаны иные пространства основных функций; среди этих пространств всегда можно будет найти такие, для которых будут иметь смысл, как функционалы, и функции с как угодно сильными особенностями.
В заключение отметим, что определение регуляризации аналогичным образом можно дать тогда, когда f(x) имеет не одну, а несколько или даже счетное число изолированных особых точек, конечное в любом конечном интервале.
Такую функцию f (х) всегда можно представить в виде суммы
/(*) = 2/*(*).
где fk(x) имеет только одну особую точку (см. добавление 1, п. 2); поэтому случай со счетным числом изолиро-ваннных особенностей по существу не представляет ничего нового.
8. Предельный переход. Последовательность обобщенных функций /ь /2...../,.....по определению, сходится
к обобщенной функции /, если для любой основной функции ср (х)
lim (/„ ?) = (/. ср).
V со
4
Можно, разумеется, считать, что индекс v пробегает и непрерывное множество значений; определение предельного перехода при этом остается таким же.
Числа е., мы еще пока не фиксировали. Положим
(7)
28 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
Аналогично ряд из обобщенных функций Лх -f- Л2 -\— . . . . . . —f— Ач —|— . . - называется сходящимся к - обобщенной функции g, если последовательность частичных сумм этого ряда
gi = hl, g2 = h1-\-h2, g, = ht 4-Л2+ . . . -t-A,, ...
сходится к обобщенной функции gB указанном выше смысле.
Легко проверить, что предел сходящейся последовательности обобщенных функций определен однозначно.
Далее, операция предельного перехода линейна: если /= lim Д, а а — число (или бесконечно дифференцируемая
функция), то lira аД существует и равен a lim Д = аД если
V ->-со v ->-оо
/ = Ит Д, g= \imgv, то lim (J4-\-gv) существует и ра-
v->-oo ч->оо v->-co
вен f-\-g.
Если локально интегрируемые функции Д (х) (у = 1, 2, . . .) в каждой ограниченной области равномерно сходятся к локально интегрируемой функции / (х), то соответствующие функционалы Д сходятся к регулярному функционалу Д Действительно, пусть ср (х) — некоторая основная функция и О — та область, вне которой функция ср (х) равна нулю; тогда, в силу известной теоремы о предельном переходе под знаком интеграла,
(/,. <Р) = /Л (*) <Р (-0 dx -> ff(x) ср (х) dx - (Д ср), о о
что и требуется.
Впрочем, требование равномерной сходимости функций Д (х) в каждой ограниченной области можно, конечно, ослабить; возможность предельного перехода? под знаком интеграла обеспечивается и менее сильными требованиями, как, например:
а) Л С*) —»¦ / (-*) почти всюду, |Д(Х)| ограничены фиксированной постоянной (или даже локально интегрируемой функцией);
б) Д (¦*:)->/(.*) монотонно возрастая или убывая, f (х) локально интегрируема.
8]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
29
Пример. Последовательность регулярных функционалов может иметь пределом сингулярный функционал. Так, функционал
совпадает при х ф О с обычной функцией —, не интегрируемой в любой окрестности начала координат, и потому не является регулярным. Но из самого построения видно, что этот функционал есть предел (при е —*¦ 0) регулярных функционалов, отвечающих функциям, равным при
| х | >¦ 8 и равным нулю при | х | < s.
Вообще можно показать (это будет доказано во втором выпуске), что каждый сингулярный функционал есть предел регулярных.
Легко проверить, что каждая обобщенная функция есть предел обобщенных функций, сосредоточенных в ограниченных множествах.