Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
C/ + S". ?). = (/. + ?)•
Легко проверить, что определенный по этой формуле функционал f-\-g снова является линейным непрерывным функционалом. В. частности, если / и g—регулярные функционалы, соответствующие функциям f(x) и g(x), то f-\-g есть также регулярный функционал, соответствующий функции /{х) -\- g(x). Это подтверждает естественность принятого определения суммы обобщенных функций.
Произведение обобщенной функции f на число а определяется формулой
(а/, <р) = а(/, <р) = (/, аср).
Очевидно, что и этот функционал линеен и непрерывен. Для регулярного функционала /, соответствующего локально интегрируемой функции f (х), введенная операция отвечает умножению функции f(x) на число а.
По-видимому, невозможно определить сколько-нибудь естественным образом произведение любых двух обобщенных функций. Но вполне естественно определяется произ-
6]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
21
ведение любой обобщенной функции f на бесконечно дифференцируемую функцию а (х). Заметим вначале, что произведение бесконечно дифференцируемой функции а (х) на основную функцию ср (х) есть снова основная функция <!р(х) = а(х) ср (х); при этом если последовательность основных функций cpv(x) стремится к нулю в пространстве К, то последовательность произведений а (х) ср„ (х) также стремится к нулю в пространстве К. Пусть теперь дана любая обобщенная функция /; определим функционал af по формуле
(af, ср) = (f, аср).
Функционал af, очевидно, линеен. Он является также и непрерывным функционалом: если cpv (х) —> О, то, как было указано, также и а (х) cpv (х) —> О, следовательно,
(af, cpv) = (/, acpv) -> 0.
Для регулярного функционала /, отвечающего локально интегрируемой функции f(x), умножение на функцию а (х) соответствует умножению функции /(х) на функцию а(х). Действительно, мы имеем в этом случае
(af, ср) = (/. a<p) = j* / (х) [а (х) ср (*)] dx = = f[a(x)f(x)]<?(x)dx,
что и требуется.
6. Сдвиги, повороты и другие линейные преобразования в области независимых переменных. При h > 0 функция f (х — К) на оси называется в анализе сдвигом вправо функции f (х) на величину h. Обратим внимание на то, что операция, которая производится здесь с независимым переменным, есть сдвиг влево на величину h — обратная операция по отношению к операции, произведенной с функцией.
Мы можем следующим образом обобщить эти построения на случай функции п переменных. Пусть и означает некоторое невырожденное линейное преобразование л-мерного пространства Rn и и~1 есть обратное преобразование. Тогда соответствующую операцию и в области функций f (х) мы определим формулой
и f(x) — f (и~1х).
22 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [6
Операцию и можно перенести и на обобщенные функции. Заметим прежде всего, что вместе со всякой основной функцией ср (х) функция ср (их) также является основной. Далее, выясним, какому равенству в функционалах отвечает равенство (1). Считая, что f(x) локально интегрируема, и применяя это равенство к основной функции ср(х), находим:
(af{x), ср(х)) = (/(и-1х), ср(х)) = f /(«-1x)cp(x)rfx.
В полученном интеграле сделаем замену переменных и_1х = у, т. е. х = иу, dx = 1 и\ dy, где |и| означает определитель матрицы преобразования и. Мы получим:
(af, ср) = | и | f f (у) ср (ay) dy = \u\(f (х), ср (их)).
Это равенство приводит к определению операции и, которую можно применять уже ко всем обобщенным функциям: uf есть функционал, действующий по формуле
(uf, <р) = |и|(/, 9(их)). (2)
Функционал uf можно также обозначить через f(w1x) (как для обычных функций), что часто делает формулы более Прозрачными. В силу нашего соглашения о символике (см. конец п. 3) мы тогда вместо (2) можем написать:
f f(u-\x)?(x)dx = \u\ f f(x)<?(ux)dx. (T)
где / — любая обобщенная функция.
Особенно простая формула получается для унимодуляр-ных преобразований ([ и | — 1), в частности для поворотов:
(/ (и-'х), ср (х) ) н= (uf, ср) = (/, ср (их) ). (3)
Примеры операций:
1. Сдвиг на вектор A: ux = x-\-k. Сдвиг обобщенной функции / на вектор h задается формулой
(Uf, ср) = (/, ср (UX) ) = (/,?(* + h) ).
Можно записать эту формулу также в виде (/(х— h), <р) = (/, ? (x-\-h)),
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
23
или
J f (х — ft) ср (х) dx = J* / (х) ср (х -4- Л) rfx
(/—обобщенная функция).
2. Отражение в начале координат: их = — х. Отражение обобщенной функции / задается формулой
(/ (— х), ср (х) ) = (а/, ?) = (/, ср (— х) ),
или
//(— *) 9 (¦*) dx = ff(x)<? (— х) dx.
3. Преобразование подобия: их = ах. Преобразование подобия обобщенной функции / задается формулой
(/ (e-ix). <? (х)) = (в/, ?) = а" (/ (х), ср (ах)).
Обобщенная функция / называется, естественно, инвариантной относительно операции и, если uf = f.
Например, обобщенная функция может быть инвариантной относительно отражения в начале координат (т. е. удовлетворяющей уравнению (/, ср (—х)) = (/, ср)); ее естественно называть центрально симметричной. Обобщенные функции, инвариантные относительно всех поворотов, мы будем называть сферически симметричными. Примерами таковых являются все регулярные функционалы, соответствующие