Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
а именно к построению классов единственности и классов корректности решений задачи Коши для уравнений в частных производных и к разложениям по собственным функциям дифференциальных операторов. Здесь систематически используются результаты, полученные во втором выпуске.
В четвертом выпуске рассматриваются связанные с теорией обобщенных функций вопросы теории вероятностей (обобщенные случайные процессы) и теории представлений групп Ли. Объединяющими здесь являются вопросы гармонического анализа (аналога теории интеграла Фурье) обобщенных функций, в частности, вопросы представления положительно определенных функций. В этом же выпуске излагается играющая существенную роль в его построениях теорема Л. Шварца о ядре.
Выпуски 1—3 написаны Г. Е. Шиловым и мною, выпуск 4 — Н. Я. Виленкиным и мною.
В конце первого выпуска для ориентации читателя приводится краткое оглавление выпусков 2—4. В конце каждого следующего выпуска также будет дано оглавление написанных к этому времени остальных выпусков.
В разделе «Примечания и литературные указания» даются исторические сведения, указания на первоисточники и библиография. По ходу же изложения никаких ссылок на первоисточники не делается; указания на учебную литературу даются в подстрочных примечаниях.
Пятый выпуск, по-видимому, будет посвящен дальнейшему развитию методов теории функций комплексного переменного в теории обобщенных функций. Уже в первом выпуске намечено рассмотрение обобщенных функций как функционалов над аналитическими функциями; в пятом выпуске предполагается подробно развить эту точку зрения и рассмотреть ее связь с работами Ж. Лерея.
Конечно, все это далеко не исчерпывает всех возможностей применений обобщенных функций. Несомненно, чувствуется потребность в углублении связей с дифференциальными уравнениями (краевые задачи, уравнения с переменными коэффициентами, ряд вопросов квазилинейных уравнений). Кроме того, теория обобщенных функций является наиболее удобной базой для построения общей теории представлений групп Ли и, в частности, общей теории сферических и
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
обобщенных автоморфных функций. Мы надеемся, что эти вопросы можно будет также впоследствии осветить.-
Авторы первого выпуска выражают признательность своим сотрудникам и ученикам, в той или иной мере принимавшим участие в создании этого выпуска, в особенности В. А. Боровикову, Н. Я. Виленкину, М. И. Граеву и 3. Я. Шапиро* Авторы благодарны также М. С. Аграновичу, который отредактировал всю рукопись и внес в нее ряд улучшений.
И. М. Гельфанд
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ВЫПУСКА
Во втором издании первого выпуска произведена некоторая перестановка материала для облегчения чтения. Две первые главы «Определение и простейшие свойства обобщенных функций» и «Преобразования Фурье обобщенных функций» можно рекомендовать при первоначальном ознакомлении; они содержат стандартный минимум, который необходим всем математикам и физикам, имеющим дело с обобщенными функциями.
План дальнейшего чтения зависит от интересов читателя. Читатели, интересующиеся алгорифмической стороной, могут обращаться к главе III этого выпуска, которая посвящена рассмотрению специальных классов обобщенных функций: дельта-функций на поверхностях различного числа измерений, обобщенных функций, связанных с многомерной квадратичной формой (любой сигнатуры), однородных функций и функций, эквивалентных однородным, а также к началу главы IV вып. 4, в которой рассмотрены однородные обобщенные функции в комплексной области. Читателю, интересующемуся общей теорией, мы рекомендуем после первых двух глав этого выпуска перейти к чтению первых трех глав вып. 2, которые содержат, в частности, необходимые сведения из теории линейных топологических пространств, и затем к главе I вып. 4, где описываются ядерные пространства и меры в них. Читатели, желающие ознакомиться с применениями обобщенных функций к теории уравнений в частных производных, могут обратиться к главам II и III вып. 3, просмотрев предварительно главы о пространствах типа 5 и типа W (гл. IV вып. 2 и гл. I вып. 3). Спектральной теории и ее применениям посвящены глава IV вып. 3 и глава I вып. 4; они требуют
12
ПРЕДИСЛОВИЕ
предварительного ознакомления с двумя первыми главами вып. 2. Возможны и иные планы чтения; например, вопросы, концентрирующиеся вокруг применений преобразования Фурье обобщенных функций, развиваются после главы II вып. 1 в главах III и IV вып. 2, в первых трех главах вып. 3, во второй и дальнейших главах вып. 4; как работают обобщенные функции в теории представлений и преобразования Фурье на группах, рассказано в трех последних главах вып. 4, для чтения которых достаточно знакомства с первыми двумя главами вып. 1.
В конце первого выпуска для удобства пользования им дана сводка основных определений и формул и сводная таблица преобразований Фурье обобщенных функций.
Авторы
ГЛАВА I
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ