Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если теперь <р(х) — любая функция из пространства S, то произведения cpv (х) = ср (х) е„ (х) финитны и, как легко убедиться, сходятся к функции ср (х) в пространстве S, что и утверждается.
Отметим еще, что если cpv, ср?/С и ср„ —у ср в К, то, очевидно, fv -> ср и в смысле сходимости в 5; иными словами, сходимость в пространстве К более сильная, чем сходимость в пространстве S.
Совокупность линейных непрерывных функционалов на пространстве S обозначается через 5'. Очевидно, что каждый линейный непрерывный функционал на пространстве S есть тем самым и линейный непрерывный функционал на пространстве К, так что S' а К'. Но, конечно, далеко не все линейные непрерывные функционалы на К могут быть распространены на пространство S. (Заметим, во всяком случае, что если такое распространение для данного функционала / возможно, то оно единственно в силу плотности К в 5.) Однако на пространство S распространяются все финитные функционалы (сосредоточенные в ограниченной области), все регулярные функционалы, отвечающие функ-
*) Например, можно как угодно построить ег (х) и затем по-
1} § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 33
циям f (х), растущим не быстрее какой-нибудь степени [ х | при | х | —> оо, и некоторые другие.
Очевидно, что 5' есть линейное пространство: если f,g?S', то а/ -\-$g(iS' для любых чисел аир. Следовательно, S' — линейное подпространство в пространстве К'.
В пространстве 5' можно определить сходимость аналогично тому, как это было сделано в К': будем говорить, что последовательность функционалов /, из 5' сходится к функционалу / из S', если для любой функции ср (х) ? S
(Л. ?)-**(/. ?)•
Так как 5 содержит /С, то ясно, что если /v, / принадлежат S' и /,,—»•/ в S', то /,—>-/в К'. Таким образом, пространство S' вложено в пространство К' вместе со своей сходимостью.
Кроме пространства 5, существует много иных типов основных пространств, определяемых разными типами условий убывания основных функций на бесконечности. Мы будем рассматривать такие пространства во втором выпуске.
В этом выпуске пространства S п S' будут играть второстепенную роль. Как правило, мы будем рассматривать пространства К и К'; в тех случаях, когда нам понадобятся другие пространства, это будет специально оговариваться.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1. Основные определения. Известно, что операция дифференцирования не всегда выполнима для обычных функций: существует большое количество функций, не имеющих производных в обычном смысле слова. В противоположность этому мы покажем, что обобщенные функции имеют производные (и притом всех порядков), которые представляют собой также обобщенные функции.
Для того чтобы подойти к определению производной обобщенной функции, -рассмотрим вначале случай обычных функций одного переменного.
Если функция /(х) непрерывна и обладает непрерывной производной (в обычном смысле), то мы можем построить
3 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
34 ГЛ. t. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (1
функционал
со
Интегрируя по частям и учитывая, что функция <р(х) обращается в нуль вне некоторого отрезка [а, Ь], мы получаем:
со
(/'. 9) =f(x) 9 (*) °° — f / (*) ?' (*) dx = (/, — ср'). (1)
—со J
—со
Это равенство мы и положим в основу общего определения производной от обобщенной функции. Пусть / — произвольный линейный непрерывный функционал на основном пространстве К. Тогда функционал g, заданный формулой
te. ?) = (/. — <р0. (2)
мы будем называть производной от функционала f и обозначать через /' или
В силу нашего соглашения о символике (§ 1, конец п. 3) определение производной /' обобщенной функции / можно записать очень наглядной формулой:
ff (х)9(x)dx = — ff (х) ср' (х)dx. (20
Чтобы убедиться в корректности определения производной, покажем, что функционал g также является линейным непрерывным функционалом на основном пространстве К. Проверим это утверждение.
Во-первых, функционал g определен на всех функциях ср(лг), поскольку — <?' (х) вместе с ц>(х) есть основная функция. Очевидно, что функционал g линеен. Остается проверить, что он непрерывен.
Пусть дана последовательность основных функций cpv (х) (v= 1, 2, .. .), стремящаяся к нулю в пространстве К. Тогда, согласно определению сходимости в пространстве К, последовательность производных — ср^ (х) также стремится
1] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 35
к нулю в пространстве К. Поэтому, в силу непрерывности функционала /,
(g. <fO=(/. — ?:)-*о.
что и требуется.
Итак, каждая обобщенная функция / имеет производную.
Легко проверить, что выполняются обычные правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, и постоянный множитель выносится за знак производной.
Для произведения бесконечно дифференцируемой функции а(х) на обобщенную функцию / остается справедливой классическая формула дифференцирования
(afY^a'f + af. (3)
Действительно, мы имеем:
((а/)'. ?) = — («/. ?') — — (/. аср') = —(/, (а?)' —а'ср) = = — (/, (аср)') -f - (/, а'ср) = (/', аср) -|- (а'/, ср) =
