Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 15

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 125 >> Следующая


Так же, как и в предыдущем примере, полученный функционал не является регулярным в целом; при х > 0

он совпадает с функцией

Пример 5. Найдем производную обобщенной функции 1п|д:|. Здесь мы встречаемся с необходимостью регу-

со

ляризации расходящегося интеграла / т dx.

— со

Можно было бы получить правило регуляризации, комбинируя уже ¦ известные правила для дифференцирования обобщенных функций In х+ и In (—х)+. Но проще дать прямое построение:

[^ТГ1' ?(*)) = (1п|*[. -<?'(*)) =

со

= — / In ] х I ср' (дг) dx = — lim / In | x | cp' (x) dx =

— со \x\ >г

= -limfln|x|c?(x)|:^-f-ln[xlcP(x)|™- f l&dx\ = = llm f 1^1 dx.

2] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 43

dx x '

Функционал не регулярный, но совпадает с функцией —

всюду при х Ф 0.

Можно определить этот функционал также и другой формулой, очевидным образом совпадающей по результату с полученной выше, но содержащей только сходящийся интеграл:

со

(dl2x]. ср)=у ^x)-.^~x)dx.

0

Пример 6. Найдем производную от обобщенной функции In (x-(-i0), определяемой равенством

ln(x-j-i0)= Hm ln(jc-f-ry).

Записывая In (х -4- гу) в виде In | х -4- t.y | -f- / arg (х -(- /у) и переходя к пределу, мы видим, что

In (x-f-Ю) = 1 п | х | —|— iTt б (— х).

Согласно примеру 2, 6' (х) —3 (х); так как 9 (х) -f-6 (—х) = 1, то 8'(—х) =— Ь(х). Поэтому

^1п(х + Ю) = ^1п|х| + ^^9(-х) = 1-г-и8(х),

где обобщенная функция определена в примере 5. Ср.

также ниже пример 4 в п. 4.

Пример 7. В заключение этого пункта построим производные от дельта-функции. Мы имеем, очевидно,

(§' (х — И), ?) = (о (х — К), — ср') = — ср' (А) и вообще

(8№) (* - Л), <р) = (- l)fe <p<fe> (Л) (А = 1, 2, . . .),

со

него обозначение J у ^ dx. Соответствующую обобщенную

—оо

функцию мы будем обозначать —. Итак,

d In I х I 1

44 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3

в

дхх

= f f(xi> х2) cos (п., x2)cp(x1, x2)d^—

df(xx, x5)

df (xu x„) у ^ x^ i

dxx

cp(Xi, x2)rfx! dx2,

где (га, x2) — угол в точке (хх, х2) на границе Г области О между внешней нормалью п и осью х2. Таким образом,

функционал -~- составляется из суммы регулярного функ-

д/(хл, х»)

ционала, соответствующего функции ——-, и сингуляр-

или в символике, принятой в п. 3 § 1,

j 8(fe> (х — А) ср (х) dx = (— l)fc ср(й) (Л).

3. Примеры для случая функций нескольких независимых переменных. Отметим прежде всего, что для непрерывных функций /(х) с кусочно непрерывными частными производными дифференцирование соответствующих регулярных функционалов приводит снова к регулярным функционалам, соответствующим указанным производным.

Пример 1. Пусть /(х)— функция с непрерывными производными в области О, ограниченной кусочно-гладким контуром Г, на плоскости хи х2. Вне области G функция /(х) предполагается равной нулю; при переходе через границу Г

она испытывает скачок. Найдем функционал -^f-. По общему

охх

правилу для любой основной функции ср имеем:

G

Интегрируя по частям по переменному хи находим:

3] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 45

ного, отвечающего скачку функции /(хх, х2) при переходе через границу Г области О. Аналогичный результат имеет место в пространстве любого числа измерений.

Известная формула Грина (Д— оператор Лапласа)

f f /Oi. *2)Д?(-*1, x2)dx1dx2 =

G

= ff *г)?(х» x2)dx1dx2-\- J{fJ*L—VL ^</T

G Г

с учетом равенства (Д/, ср) = (/, Дер) может быть истолкована следующим образом: если f есть обобщенная функция, совпадающая в области G с обычной локально интегрируемой функцией f (xt, х2) и с нулем вне G, то обобщенная функция Д/ есть сумма регулярного функционала, соответствующего функции Д/(л:1> х2) внутри G, и двух сингулярных функционалов, отвечающих скачкам функций f и -J-^- при переходе через граничную линию. Аналогичный результат имеет место в пространстве любого числа измерений.

В гл. Ill (§ 1, п. 4) будет дан непосредственный вывод такого рода соотношений, опирающийся на символику обобщенных функций 8 (Р) и аналогичных ей.

Пример 2. Найдем в трехмерном пространстве результат применения оператора Лапласа Д к регулярному функционалу, определяемому функцией — (г3 = х\-4- х\-f- xfj.

Заметим, что функция ~—гармоническая в любой области,

не содержащей начала координат, так что выражение Д —

при г Ф 0 обращается в нуль (в обычном смысле). Рассматривая операцию Д в пространстве обобщенных функций, мы находим:

К полученному интегралу применим формулу Грина (пример 1), беря в качестве области О шаровой слой е^г^а,

46 ГЛ. !. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ J3

Iff

=111 *-4>-Я^4*+/Лу >•

г ;> е г=е Г—е

где ds есть элемент сферы г = е. Мы имеем, далее, так как — вне шара г ^ s есть гармоническая функция;

г —s г—в

где 5? (ср)—среднее значение функции ср(дг) на сфере радиуса е. В пределе при е —* 0 мы находим Se (ср) —> ср (0), и, следовательно,
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed