Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
2) спонтанное излучение: т. е. снятие возбуждения (+ — —) происходит под влиянием члена КР( + ), входящего в оба уравнения. Снятие возбуждения может происходить даже при отсутствии фотона. С современной точки зрения это не удивительно, но в те времена, когда это было впервые получено, это было важным новшеством.
10.5. ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ КВАНТОВЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Можно легко найти точное выражение для двухвременной корреляционной функции (A(t')B(t)) квантовой системы; мы просто приведем здесь конечный результат. Пусть pit) — матрица плотности в представлении Шредингера в момент времени t, Н — гамильтониан, А и В — операторы измеряемых переменных. Тогда
(А(ф = Tr{Ap{t)} (10.5.1)
и
(A(t + T)B(t)) = Тг c-^Bpit)} . (10.5.2)
[Справедливость выражения (10.5.2) следует из формы представления Гейзенберга, для которого
(Ait + т)Я(0> = Тг {AB(t + r)BHit)pn}. (10.5.3)
причем гейзенберговская матрица плотности рн не зависит от времени.]
Уравнение (10.5.2) точное, но не очень полезное. Мы хотим выразить все в квантовой марковской системе через оператор Лиувилля редуцированной системы, в которой взят след по переменным термостата. После того как это будет сделано, мы можем эффективно опреде-
Квантовомеханические марковские процессы 483
лить многовременные совместные вероятности, позволяющие нам полностью охарактеризовать квантовый марковский процесс.
Этого можно достичь сравнительно просто. Предположим, что операторы А и В действуют только в пространстве системы, а не в пространстве термостата. Тогда равенство (10.5.3) можно представить в виде
(A(t + т)В(ф = Trs [А Тгв [е~ш'/лВр(1)ен'/л}}, (10.5.4)
поскольку оператор А в пространстве термостата пропорционален единичному оператору.
Уравнение движения для выражения
Х(т, I) = е~'Ят'А Bp(t)eHx!h, (10.5.5)
рассматриваемого как функция т, имеет вид
ihdTX(x, t) = [H, Х(т, г)] • (10.5.6)
Аналогично тому как мы вывели уравнение (10.3.38), которое можно записать в абстрактной форме
а,Д0 = Lp(t), (10.5.7)
где
р ~ Тгв [р\, (10.5.8)
теперь можно получить уравнение
дт[Тгв{Х{т, г)}] = L[TvB{X{z, г)}], (10.5.9)
так что выражение (10.5.4) в этом адиабатическом пределе эквивалентно выражению
(A(t + r)B(O) = Trs {Л ^Вр(1)} .
(10.5.10)
Используя аналогичную процедуру, можно решить задачу нахождения различных многовременных корреляторов, например найти
</!(*,)ВДС(/,)> = Тг5 {А е?('з-^ Ле?|'2-'i> С/5(/,)}
(10.5.11)
при 'г ^ r2 ^ tx (оба оператора L в этом выражении действуют на все, что стоит справа от них).
Поскольку не все операторы коммутируют между собой, временное упорядочение не обязательно совпадает с упорядочением операторов. Это порождает огромный диапазон возможностей, не все из которых описываются простыми формулами.
484 Глава 10
Частным случаем является следующий:
(A(t)B(t + z)C(t + z)D(t)) = Тг [А е№/* ВС Dp(t)}
= Тг, [ВС Тгв {е_1Яг/* Dp(t)A е№/*}},
При этом
(A(t)B(t + т)С(/ + т)?>(/)> = Тг, [ВС е?г ЯД/М} .
(10.5.12)
Отметим, что выражение (10.5.10) является частным случаем этого выражения, так как, полагая C(t) = D(t) = 1, мы находим
(A(t)B(t + ф =Tts[Bc^ p(t)A}
(10.5.13)
Полный набор корреляционных функций для всех возможных операторов определяет всевозможные совместные средние значения, и, таким образом, его можно принять за определение марковского свойства квантовой системы, в которой оператор L может быть произвольным, но сохраняющим Trjpj и положительность р. В частности, можно использовать оператор L, определяемый уравнением (10.3.38), который является единственным типом оператора, встречающимся на практике.
10.5.1. КВАНТОВАЯ ТЕОРЕМА РЕГРЕССИИ
В том случае, когда уравнения для средних оказываются линейными, можно доказать квантовую теорему регрессии, подобную аналогичной теореме для обычного марковского процесса (разд. 3.7.4). Этот результат был впервые получен Лэксом [10.8].
Пусть для некоторого набора операторов У, и для любого начального р из управляющего уравнения можно получить линейное уравнение вида
з,< >0(0) = 2 Gw(0< 10(0) •
Тогда мы утверждаем, что
dt<Yt(t + т)Ю(/)> = 2 Су(т)<У,(/ + т)У,(/)>
(10.5.14)
(10.5.15)
при т > 0. В самом деле,
<Ю(/ + т)ВД> = Тг ,{10е*Ю/Н/)}.
(10.5.16)
Квантовомеханические марковские процессы 485
Правую часть этого равенства можно трактовать как среднее значение величины Yt(t + т) при начальной матрице плотности
pKm = Y,p(t). (10.5.17)
Поскольку, согласно принятому предположению, допускается любой начальный оператор р и среднее < У( > линейно по р, мы действительно можем взять совершенно любой начальный оператор. (Казалось бы, что требование нормировки, эрмитовости и неотрицательной определенности ограничивает набор возможных начальных операторов, но это не так. Например, в случае двух состояний имеются четыре линейно независимые эрмитовы неотрицательно определенные матрицы с единичным следом, а именно
