Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
а $ дХа дХн
. дх' дх дх' дх
= 8" -^ ¦-? = -^ ^ = Вн-, (37.23)
дха дх., дха дх., '
которая и приводит к равенству (37.19).
Величины называются контравариантными компонентами фундаментального
тензора, тогда как g^ являются его коварлантными компонентами.
Использованное в (37.23) равенство
дх' дх"
К -? = 8* (37.24)
дха дх,
показывает, что совокупность величин
Г1 при p. = v,
4= А , (37-25)
4 (0 при fi. Ф V,
одинаковая во всех координатных системах, подходит под определение
смешанного тензора второго ранга.
Если дан ковариантный вектор И,, то совокупность величин
Av- = g^A, (37.26)
будет, как легко проверить, преобразовываться, как контравариантный
вектор. Эти два вектора мы не будем считать существенно различными, а
будем говорить о величинах и А*, как о ковариант-ных и контравариантных
компонентах одного и того же вектора. Операцию, выражаемую равенством
(37.26), называют для краткости поднятием значка у вектора А." а обратная
операция
А, = (37.27)
называется опусканием значка. Поднятие и опускание значков можно
производить также у тензоров. Например, из ковариантного тензора 7^,
§ 371 ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 163
можно путем поднятия значков составить контравариантный тензор
7>'< = (37.28)
из которого, обратно, исходный тензор получается по формуле
T^ = g^g^. (37.29)
При этом, очевидно, свойство симметрии или антисимметрии тензора
сохраняется. При составлении смешанного тензора нужно обращать внимание
на то, какой именно значок поднимается (или опускается). Для ясности
можно место поднятого или опущенного значка обозначать точкой. Например
тензоры
7t; = /X, (37.30)
И
С = /X (37.31)
будут совпадать только если тензор Та$ симметричен. В этом случае можно
точек и не ставить, а писать просто
П = Г'Х, = Д'Х*- (37.32)
Для простоты письма мы рассматривали до сих пор только векторы
и тензоры второго ранга. Аналогичное определение можно дать
и тензорам более высокого ранга.
Ковариантным тензором ранга п называется совокупность величин,
преобразующихся по закону
/ дха.. дха." Зха
АМ,... = Аал ... ,я -2. (37.33)
Аналогично, контравариантным тензором ранга п называется совокупность
величин, преобразующихся по закону:
дхо дхг дх'"
д,РА-Р"==В-л-"" ^ ^ . Р". (37.34)
OX a, uXoLa ОХ а
* ^ п
Наконец, смешанный тензор ранга п, имеющий k ковариантных и т.
контравариантных значков (причем k-\-m - n), есть совокупность величин,
преобразующихся по закону
= (37.35)
1 ''к А •" ?к 3xi дх*т дХЧ1
Из ковариантного тензора ранга п можно получить контравариантный тензор
того же ранга по формуле
А'1' ¦" = А*,... , . .. gnV", (37.36)
a.tx,
. Г*
П'
11*
164
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[гл. Ш
причем в этом случае можно говорить о ковариантных и контрава-риантных
составляющих одного и того же тензора. Путем поднятия не всех, а
некоторых значков можно из ковариантного тензора получить также смешанный
тензор того же ранга (места поднятых значков для ясности обозначаются
точками). Из двух тензоров рангов k и т. можно, путем перемножения их
составляющих, построить тензор более высокого ранга п - ft-f- т. Мы
имеем, для ковариантных тензоров,
Ащ ... afc^afc + 1... ая = Сх, ... (37.37)
и аналогичные формулы для контравариантных и смешанных тензоров.
Из данного тензора АЛ1,"Л ранга п можно по формуле
= (37-38)
построить новый тензор , ранг которого на две единицы
меньше ранга данного тензора. Такая операция называется свертыванием по
соответствующим двум значкам. В формуле (37.38) свер--тывание произведено
по последним двум значкам; очевидно, что
результат будет зависеть от выбора той пары значков, по
которой
производится свертывание. Свертывание можно произвести в два приема:
сперва поднять один из значков по формуле
(37-39)
и затем, приравняв другой значок аи_1 поднятому значку [3, по нему
просуммировать
а^:::^ = в^...^2. (37.40)
Свертывание тензора второго ранга дает скаляр
Tv.;gr> = Т, (37.41)
который будет также равен
Г; = Г;) = Т. (37.42)
То, что свертывание двух тензоров (37.30) и (37.31) дает один и тот же
результат, вполне понятно, поскольку скаляр Т зависит только от
симметричной части тензора 7^, а для симметричного ковариантного тензора
обе формы смешанного тензора совпадают.
Свертывание вектора невозможно, поскольку он содержит только один значок.
Но из двух векторов А^ и Д можно построить тензор второго ранга, который
затем и подвергнуть свертыванию. В результате получается скаляр
g*'A"B.t = АВ'' = Х'Д, (37.43)
§ 37j ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 165
который можно назвать скалярным произведением двух векторов А и Вч. Если
оба вектора совпадают, то соответствующий скаляр равен
gv-М^Л, = А^А*. (37.44)
Знак этого скалярного произведения вектора на самого себя позволяет
подразделить векторы на временно-подобные (для которых A^Av- > 0), на
пространственно-подобные (для которых A^Av- < 0) и на нулевые (для
которых А^А* = 0). Это подразделение совпадает с тем, которое мы
рассматривали в § 20.
Если даны два временно-подобных вектора А^ и №, инварианты которых равны
