Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
/дг От \
Be =Bt -f CJt — 44/ X -O8X ) -L-
U.VI I JV-ydx_ дх.] ' ‘ J P1' 1
44 V zV —9,. <) + (?’ iV \ — я\ V \)4-
+ (я\ 9^ — 9, 9 ^ *« *“ + (»,., xV — V' х°) /Л (87 • 4>
Если теперь положить е = з, то получим сокращенный ин-тензор
'Gv. Р»-ГГ —9,.., <) +
4- — 4 V — *« * 4- (\ 9^ \ *“) =
= G —2F — (х 4-х ) — а х“—2х х 4-2о х хв(87.5)*)
^LV {J.V ^ {J.V ) MfA7 & в. JX V I JJ.V Ot V ' /
Помножим, наконец, это на д*'. Тогда сокращение даст нам ко-инвариант
'G = G-6х“ + 6 хя х“. (87.6)
Умножение на д^‘ опять вводит зависимость от калибровки, так что при ее изменении *G умножается на X-2-
Если значок г переносится в формуле (87.4) вниз, то
/ dx( дх\
^Ve дх.) ~~
будет единственной составной частью 'B которая симме-
трична относительно риє, что согласуется с условием (а) геометрии Вейля (п. 84).
*) Единица величин произвольна, и те % , которые употребляются в обобщенной теории части II, соответствуют удвоенным X этих формул. Это нужно принять во внимание, например, при сравнении (87.5) и (94.3).
88. Ин-инварванты области
88. ИН-ИНВАРИАИТЫ ОБЛАСТИ.
He существует функций ОТ g^t и х^, которые были бы функциями положения и в то же время ин-инвариантами. Однако, возможно следующим образом найти ин-инвариантные плотности.
Так как ]/—д при преобразовании калибровка умножается на Xі то эту величину нужно сочетать с ко-инвариантамі;, которые при этом умножаются на . Таким способом мы получаем следующие выражения, которые, как легко убедиться, представляют собой ин-инвариантные плотности:
CGf V^=Tg, 4G^* G*' V=Tgi 'B^ V^ff • (88.1}
F^F*'V~g- (88.2)
Ин-инвариаптные плотности можно построить также и из фундаментального тензора шестого ранга. Пусть * (*# )ар есть вторая ип-ковариантная производная ко-тензора *В • Диагональная сумма, образованная поднятием трех значков и сокращением, изменяется пропорционально 4 и образует, будучи умножена на V — 9i ин-инвариантиую плотность. В зависимости от выбора значков можио получить три различные диагональные суммы (три следа), но я полагаю, что между ними существуют определенные соотношения, так что имеется лишь одно независимое выражение. Простейшим из этих следов будет
«г ^ = * ? *• VzirS- (88-3)
Если А есть некоторая ин-инвариантная плотность, то интеграл
/А
взятый по какой-либо четырехмерной области, есть отвлеченное число, не зависящее ни от системы координат, ни от системы масштабов. Такое число определяет свойство области, которое можно назвать абсолютным в самом широком смысле этого слова^ и весьма вероятно, что какой-либо один или больше инвариантов области находятся в некотором простом отношении ко всем физическим величинам, измеряющим наиболее общие свойства мира. Простейшей операцией, применимой к инвариантам области, является, новидимому, гамильтоново дифференцирование, так что
тензорам S— необходимо придать особый смысл.
к
Теория относительности
25
дьв
Геометрия мпра
Как показал Вейль, только в четырехмерном пространстве существует более или менее простое множество таких ин-ннва-риантов области. При нечетном числе измерений таких инвариантов не существует врвсе. При двух измерениях есть только один, именно *G У — g, при шести и восьми измерениях все инварианты будут очень сложны; они содержат производные по крайней мере четвертого порядка, или же построены чрезвычайно искусственно. В этом обстоятельстве можно было бы видеть известное обоснование четырехмерности мира. Далее можно было бы заключить, что мир с нечетным числом измерений не мог бы содержать ничего абсолютного, что, конечно, немыслимо.
Однако, эти заключения нуждаются в известном видоизменении, так как существует чрезвычайно простой инвариант области, который, кажется, до сих пор всегда упускался нз виду по той причине, что он не принадлежит к обычно рассматриваемому типу, а именно: выражение
на основании (81.1) представляет собой инвариант, так как оно не содержит ничего зависящего от калибровки. Это выражение не более неразумно, чем другие ин-инварианты, так как последние содержат У —д. Позже мы увидим, что оно вполне аналогично метрическому объему н электромагнитному объему (п. 81) области. Этот ин-инвариант, который мы назовем обобщенным обЪемом, существовал бы даже и в том случае, еслн бы мир нмел нечетное число измерений.
Заметим еще, что Fr' ]/" —д или F есть ин-тензорная плотность. Таким образом, для того чтобы формулы имели физический смысл, необходимо, чтобы с контравариантным тензором всегда был связан множитель ]/ —д. Плотность электромагнитного действия должна иметь вид
F Fij--'
[IV »
а плотность энергии
F Fm Jr--Lq4 F F"3.
Таким образом, поле характеризуется либо интенсивностью F i либо количеством плотности F . Оба способа описания не зависят от калибровки.
89. Естественная калибровка
89. ЕСТЕСТВЕННАЯ КАЛИБРОВКА.
Большая часть законов механики, исследованных в главах I—V, была выражена тензорными, но не ин-тензорными уравнениями, Поэтому они могут быть верны только при некоторой определенной системе масштабов и перестают иметь место при преобразовании последней. Ту калибровку, при которой эти законы имеют место (если они вообще имеют место), мы назовем естественной калибровкой. Она так же относится к общей системе масштабов, как галилеевы координаты к наиболее общей системе координат.