Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
2. He предполагается, что рассматриваемая эквивалентность может быть установлена между какими-либо другими мировыми:
39S
Геометрия мира
соотношениями, кроме отрезков. До снх пор мы применяли пара-лелльный перенос к любому тензору, HO В ЭТОЙ новой теории Mbl его используем только для отрезков или смещений.
3. Наконец, не предполагается существование какого-либо исчерпывающего правила для опытного установления иашей эквивалентности. Эт0 очень трудный пункт, которым мы лучше займемся позже. Основная идея заключается в том, что схема эквивалентности может не нуждаться в опытном определении и допускать определенные преобразования точно так же, как и схема отсчета координат не определяется из опыта н допускает известные преобразования.
Пусть PP1 представляет смещение Tlli=SaJii, которое при параллельном переносе в P' превращается в PrP'г Тогда, на оснойа-нии (91 • 1), разность координат точек P71 и P1 равна
Переставляя оба смещения, т. е. смещая PP' вдоль PPv мы придем в ту же самую точку Pf1, только в том случае, если
Когда равенство (91 • 3) выполнено, то имеет место «закон параллелограмма», по которому, если смещение AB эквивалентно CD, то AC эквивалентно BD.
Это есть условие, необходимое для так называемой аффинной геометрии. Она положена в основу Вейлем и другими авторами. Однако, Скаутен произвел чисто геометрическое исследование, в котором уничтожено и это ограничение. В дальнейшем мы все же будем его придерживаться.
Вопросы, касающиеся исходных аксиом знання, всегда трудны. Вообще говоря, нам приходится начинать где-то несколько выше основ и развивать теорию как назад, вплоть до самого фунда-j мента, так и вперед в направлении к следствиям. Я откладываю до п. 98 разрешение вопроса о том, в какой мере аксиома параллельного переноса и условие аффинности геометрии являются существенными при представлении свойств комплекса соотно-
А* -\-dAv- ^=-Ъх1Х— Г~х Ьх dx і
і гм a a v'
так что координаты точки P1 по отнощению к P равны
dxJi -f- Sxlii — Sxn dxs
(91 • 2)
(91 • 3)
92. Перенос вдоль бесконечно малого замкнутого пути
399
шений посредством математических выражений. Теперь же я перейду к выводу дальнейших следствий из введенных здесь соотношений.
По соображениям симметрии число независимых сводится
к 40 величинам, изменяющимся ог точки к точке. Они служат для описания комплекса мировых соотношений и должны содержать все, что имеет значение для физики. Наша ближайшая задача заключается в том, чтобы показать, как можно извлечь обычные физические переменные из этого сырого материала.
92. ПЕРЕНОС ВДОЛЬ БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО ЗАМКНУТОГО ПУТИ.
Пусть смещение переносится параллельно самому себе вдоль малого замкнутого пути С.
В силу (91 • 1) уравнение параллельного переноса гласит
Tx = -С (92.1)
Следовательно, разность между начальным и конечным значением равна
5Av = J d^dx = — /V A'dx.,,
І дхч v с7
или, по теореме Стокса (32 • 3),
Здесь подынтегральная функция равна
( ^ W1 _ д \ , j, д А _ ЗА
Л { дха Г™ д,7ч ™) ^ - дх, д Xv ’
или по (92 • 1) где
д д
¦г —Г*1 Г . (92-2)
Sc 4V a as a a vs
дх vs 1 о* а:.
400
Геометрия мира
Отсюда получается
(92 • 31)
Эта формула, как и в п. 33, применима лишь к бесконечно малым замкнутым контурам. При вычислении подинтегральной функции мы принимали, что А* удовлетворяет условию (92 • 1) параллельного переноса не тольк® на самом пути переноса, но и во всех точках внутри контура. Эт0 предложение не выполняется в точности ни при каком определенном значении Jl , так как если оио справедливо для одного какого-либо контура переноса, то для другого оно, вообще говоря, не будет иметь места. Ho разница будет порядка dSа множитель dS” входит еще один раз под знаком интеграла; следовательно, (92 • 31) "будет правильно, поскольку можно пренебречь квадратом плошади контура.
Полагая для малого замкнутого пути 2 = // dS'13, мы вме-
сто (92 • 31) получим в пределе
что показывает тензорный характер *). Более того, это есть ии-теизор, так как до сих пор мы еще не ввели никакой калибровки. И вообще все величины, которые мы сейчас вводим должны обладать <шн»-свойства;.ш, так как до сих пор мы даже не начинали изучения понятия длины.
Мы можем теперь построить путем сокращения ин-тензор второго ранга. Переставляя значки є и и, чтобы получить более привычное их расположение, мы имеем
*) Другое, независимое от этого, доказательство того, что ^ есть тензор, получается из уравнения (94 • 1); поэтому, если читателю кажется сомнительной строгость приведенных рассуждений, он может рассматривать их просто как соображения в пользу правдоподобности этого допущения и использовать другое доказательство тензорных свойств
(92 • 32)
92. Перенос вдоль бесконечно малого замкнутого пути 401
Другой сокращенный ин-тензор мы получим из (92 • Al), полагая 8 = [а и изменяя немые значки в последнем члене
ор .... ^ і д *
Г" (92-43)
Положим теперь
тогда получим
Гч ^ С, (92,5)
дГ дГ
