Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
2 =^_'_ * 92.55)
4,1 с/а; da; у
!T V
С другой стороны, из (92.42) видно *), что
дГ дГ
*G — -г-^ = 2F , (92.6)
(14 4(1 QX (ІЛІ \ /
V (I
так что F есть антисимметричная часть "G . Таким образом, второй способ сокращения не прибавляет ничего, чего нельзя было бы получить первым способом, и, следовательно, нам незачем особо рассматривать F .
При таком порядке построения теории ин-тензоры *В* и *G являются самыми основными мерами внутренней структуры мира. Они предшествуют величинам g , которые вводятся лишь в дальнейшей стадии развития нашей теории. Заметим, что мы пока
еще не имеем возможности переносить значки вверх или вниз, или определить инвариант, аналогичный fGy так как у нас еще нет величины g . Если же мы хотим уже на этой ступені! построить инвариант четырехмерной области, то мы должны взять «обобщенный объем».
который, следовательно, более элементарен, чем другие инварианты области, перечисленные в п. 88.
*) Здесь мы впервые использовали симметрию . Если ф , то вычисление становится чрезвычайно сложным.
Теория относительности. 26
462
Геометрия мира
Можно было бы задать вопрос, существует ли другой путь получения тензоров, кроме рассмотрения параллельного переноса вдоль замкнутого контура. Я думаю, что нет, потому что, если последовательность переносов кончается не в исходной точке, то мы будем иметь дело с начальным и конечным смещениями в различных местах, когда сравнение невозможно.
Уравнение (92.55) не содержит непосредственного доказательства того, что F есть вихрь некоторого вектора, так как, несмотря иа введенное обозначение, Г не есть вектор. Ho так как F есть тензор, то
натной системе = Г , ио это равенство, вообще говоря, ие имеет места в других системах. Так как для каждой штрихованной (и для определенной нештриховаиной) системы
то х’ подчиняется закону преобразования (23.12) ковариантного вектора; так как далее этот закон преобразования имеет указанное в п. 20 свойство инвариантности, то мы можем уничтожить теперь ограничение определенной нештрихованной координатной системой. Тогда (92.65) превратится в следующее выражение
Следовательно, F' действительно есть вихрь вектора х', хотя Этот вектор и не должен быть во всех координатных системах равен Г’а. Общее решение уравнения
Пусть теперь 2у/ = Г к —т—у , так что в нештрихованной коорди-
° [L OXm
(92.65)
93. Введение метрики
М3
будет
(92.7)
и, так как Q пе обязательно инвариантно, то Г' может и не быть вектором *).
До сих пор интервал ds между двумя точками еще по появлялся в нашей теории. Вспомним, что интервал есть длина соответствующего смещения; поэтому нам нужно рассмотреть, каким образом смещению dx (контравариаитному ин-вектору) можно приписать длвну (инвариант). Мы введем здесь этот инвариант в сле-дущем виде:
Для того чтобы интервал был инвариантным, величины у должны очевидно образовывать тензор, который, одиако, является ?ока произвольным.
Предположение о каком-либо частном виде тензора ^ эквивалентно введению определенной системы калибровки, т. е. такой системы, которая приписывает однозначную меру интервалу между любыми двумя точками. В теории Вейля калибровка является частью физической, частью условной; предполагается, что длины, различно направленные, но находящиеся в одной точке, можно сравнивать экспериментальными (оптическими) методами; но относительно длин, находящихся в разных точках, не предполагается, что их можно сравнивать физическими методами (переносом часов н стандартных стержней), так что единица длины в каждой точке устанавливается условно. Я думаю, что такое двойственное определение длины нежелательно, и что длину нужно считать либо чисто условным, либо чисто физическим понятием. В настоящей главе мы рассматриваем ее как чисто условный инвариант, свойства которого мы желаем изучить, так что длина в том виде, как она здесь определяется, не есть что-либо, что должно согласоваться с обычными физическими опытами. Позже мы рассмотрим, жак нужно выбрать д , чтобы условная длина могла быть уста-
*) Ср. например формулу (1JK 7). {#.)
93. ВВЕДЕНИЕ МЕТРИКИ.
ds1 = о dx dx •
{XV {X V
(93.11)
'iOt Геометрия мира
новлена обычными физическими опытами и таким образом превратиться в физическую длину, но сейчас тензор д совершенна произволен.
He уменьшая общности, мы можем предположить, что д явлается симметричным тензором, так как антисимметричная часть пропадает при умножении на dx^dx^ в (93.11) и поэтому не имеет значения.
Пусть I есть длина отрезка А , так что
1* = д^А*А\ (93.12)
Если Ail перемещается путем параллельного переноса на Cfejl та
(дд дА* дА‘\-
„т.
\ <з z а /
что, по (91.1) равно
= 4і" — gr, А" I* Aa-g Af- Ґт A^dxa
и, наконец, после изменения немых значков
Положим, в согласии с обычным правилом опускапия значков
Г = g Г* ;
Ct4U., V v av СТ[А7
тогда в результате получим
= (% - Г*> V - Г«, ,) ^ ? W- ^93 • 2>
Ho d (/2), как разность двух инвариантов, само представляет собой инвариант. Следовательно, величина, стоящая в скобках, есть ковариантный тензор третьего ранга *), очевидно симметрич-
