Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 130

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 176 >> Следующая


/дг От \

Be =Bt -f CJt — 44/ X -O8X ) -L-

U.VI I JV-ydx_ дх.] ' ‘ J P1' 1

44 V zV —9,. <) + (?’ iV \ — я\ V \)4-

+ (я\ 9^ — 9, 9 ^ *« *“ + (»,., xV — V' х°) /Л (87 • 4>

Если теперь положить е = з, то получим сокращенный ин-тензор

'Gv. Р»-ГГ —9,.., <) +

4- — 4 V — *« * 4- (\ 9^ \ *“) =

= G —2F — (х 4-х ) — а х“—2х х 4-2о х хв(87.5)*)

^LV {J.V ^ {J.V ) MfA7 & в. JX V I JJ.V Ot V ' /

Помножим, наконец, это на д*'. Тогда сокращение даст нам ко-инвариант

'G = G-6х“ + 6 хя х“. (87.6)

Умножение на д^‘ опять вводит зависимость от калибровки, так что при ее изменении *G умножается на X-2-

Если значок г переносится в формуле (87.4) вниз, то

/ dx( дх\

^Ve дх.) ~~

будет единственной составной частью 'B которая симме-

трична относительно риє, что согласуется с условием (а) геометрии Вейля (п. 84).

*) Единица величин произвольна, и те % , которые употребляются в обобщенной теории части II, соответствуют удвоенным X этих формул. Это нужно принять во внимание, например, при сравнении (87.5) и (94.3).
88. Ин-инварванты области

88. ИН-ИНВАРИАИТЫ ОБЛАСТИ.

He существует функций ОТ g^t и х^, которые были бы функциями положения и в то же время ин-инвариантами. Однако, возможно следующим образом найти ин-инвариантные плотности.

Так как ]/—д при преобразовании калибровка умножается на Xі то эту величину нужно сочетать с ко-инвариантамі;, которые при этом умножаются на . Таким способом мы получаем следующие выражения, которые, как легко убедиться, представляют собой ин-инвариантные плотности:

CGf V^=Tg, 4G^* G*' V=Tgi 'B^ V^ff • (88.1}

F^F*'V~g- (88.2)

Ин-инвариаптные плотности можно построить также и из фундаментального тензора шестого ранга. Пусть * (*# )ар есть вторая ип-ковариантная производная ко-тензора *В • Диагональная сумма, образованная поднятием трех значков и сокращением, изменяется пропорционально 4 и образует, будучи умножена на V — 9i ин-инвариантиую плотность. В зависимости от выбора значков можио получить три различные диагональные суммы (три следа), но я полагаю, что между ними существуют определенные соотношения, так что имеется лишь одно независимое выражение. Простейшим из этих следов будет

«г ^ = * ? *• VzirS- (88-3)

Если А есть некоторая ин-инвариантная плотность, то интеграл



взятый по какой-либо четырехмерной области, есть отвлеченное число, не зависящее ни от системы координат, ни от системы масштабов. Такое число определяет свойство области, которое можно назвать абсолютным в самом широком смысле этого слова^ и весьма вероятно, что какой-либо один или больше инвариантов области находятся в некотором простом отношении ко всем физическим величинам, измеряющим наиболее общие свойства мира. Простейшей операцией, применимой к инвариантам области, является, новидимому, гамильтоново дифференцирование, так что

тензорам S— необходимо придать особый смысл.

к

Теория относительности

25
дьв

Геометрия мпра

Как показал Вейль, только в четырехмерном пространстве существует более или менее простое множество таких ин-ннва-риантов области. При нечетном числе измерений таких инвариантов не существует врвсе. При двух измерениях есть только один, именно *G У — g, при шести и восьми измерениях все инварианты будут очень сложны; они содержат производные по крайней мере четвертого порядка, или же построены чрезвычайно искусственно. В этом обстоятельстве можно было бы видеть известное обоснование четырехмерности мира. Далее можно было бы заключить, что мир с нечетным числом измерений не мог бы содержать ничего абсолютного, что, конечно, немыслимо.

Однако, эти заключения нуждаются в известном видоизменении, так как существует чрезвычайно простой инвариант области, который, кажется, до сих пор всегда упускался нз виду по той причине, что он не принадлежит к обычно рассматриваемому типу, а именно: выражение

на основании (81.1) представляет собой инвариант, так как оно не содержит ничего зависящего от калибровки. Это выражение не более неразумно, чем другие ин-инварианты, так как последние содержат У —д. Позже мы увидим, что оно вполне аналогично метрическому объему н электромагнитному объему (п. 81) области. Этот ин-инвариант, который мы назовем обобщенным обЪемом, существовал бы даже и в том случае, еслн бы мир нмел нечетное число измерений.

Заметим еще, что Fr' ]/" —д или F есть ин-тензорная плотность. Таким образом, для того чтобы формулы имели физический смысл, необходимо, чтобы с контравариантным тензором всегда был связан множитель ]/ —д. Плотность электромагнитного действия должна иметь вид

F Fij--'

[IV »

а плотность энергии

F Fm Jr--Lq4 F F"3.

Таким образом, поле характеризуется либо интенсивностью F i либо количеством плотности F . Оба способа описания не зависят от калибровки.
89. Естественная калибровка

89. ЕСТЕСТВЕННАЯ КАЛИБРОВКА.

Большая часть законов механики, исследованных в главах I—V, была выражена тензорными, но не ин-тензорными уравнениями, Поэтому они могут быть верны только при некоторой определенной системе масштабов и перестают иметь место при преобразовании последней. Ту калибровку, при которой эти законы имеют место (если они вообще имеют место), мы назовем естественной калибровкой. Она так же относится к общей системе масштабов, как галилеевы координаты к наиболее общей системе координат.
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed