Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Надо заметить, что не всегда удается подобрать такие функции, поэтому ряд задач, главным образом 'пространственных, не решен.
В дальнейшем мы ограничимся выводом и решением- основных уравнений только плоской задачи теории 'упругости. Для решения уравнений будем пользоваться методом сеток.
Рис. 12.
§ 3. Дифференциальные уравнения равнфесия
Рассмотрим элемент' с размерами Лх и dy, вырезанный из пластинки единичной толщины (рис. 13). Напряжения, действующие
.b=.L
dx
/
Рис. 13.
дТах
Iux+-Idfte
Рис. 14.
в центрах граней этого бесконечно малого элемента, показаны на рис. 14. Если нормальное напряжение на левой грани ах, то на правой оно получит некоторое приращение. Так как напряжение
13в каждой точке является функцией 2-х переменных X и у, то приращение Ox при постоянном у равно: dx. Аналогично определяются приращения оу и Xxr Горизонтальную проекцию объемной силы1, (приходящейся ' на единицу объема, обозначим через Х\ вертикальную проекцию — через Y. Для данного элемента можно записать три уравнения равновесия. 1. SMil=O .
, dx ( , dxXy . \ . dx
W dv Y+V^+^rdx) dy'T=
Пренебрегая бесконечно малыми величинами 3-го порядка, после сокращения всех членов на величину ^dxdy получаем:
^v=V- (11)
2. ?Х=0
3. SF=O
¦у* dxdy + dy dx+Xdx dy=0.
дОу дтху
dy dx + dxdy+Y dx dy=0.
ф
После сокращения получаем: ^
+ (12а)
дх ду
до„ дх~„
-^+^" + 7=0- (13а) ду дх
Если объемной силой является только- собственный вес упругого тела, то Х=0, Y=—р, где р — вес единицы объема. Уравнения (12а), (13а) будут иметь вид:
даг 9т™
-U-+-J»= 0; (126)
дх ду ¦ ,
дв„ дх,.у
-L+--2—P=0. (136)
• ду дх
Из уравнений следует, что рассматриваемая задача, как и все задачи теории упругости, статически не определима. В этих уравнениях три неизвестных: ах, ау, хху. Для определения величин напряжений следует учесть деформации элемента.
1 К объемным силам относятся собственный .вес, инерционные силы, силы магнитного лритяжения.
14 і\ § 4. Зависимость между деформациями и перемещениями
Рассмотрим малый прямоугольный элемент abed, со сторонами dx и ду, выделенный из недеформированной пластинки единичной толщины (рис.- 15). После деформации элемент переместится в новое положение a'b'c'd', изменив свою шорму (его стороны удлинятся и повернутся). Пег ремещения каждой точки будут фущщиями координат. Если перемещение точки а в* направлении оси х обозначить через и, д в направлении оси у — через V, то u=f(x, у), V= ft (х, у), соответственно:
du=^-dx+ — dy и dv= ах. ду
= — dx+ — -dy. Перемеще-
дх ду ' v '
ниє точки d, отличающейся от точки а только координатой X (у=const) в направлении Рис. 15. оси X будет и+ du, а в направлении оси у — v+dv или соответственно:
ди J , dv ,
и~\--dx и гч--dx. *
дх дх
Аналогично перемещение точкїі Ъ, отличающейся от точки а только координатой у (х=const) в направлении оси х будет
u+-~dy и в направлении оси у — dy. Ввиду малой вели-
• чины упругих деформаций можно принять a'd'=a'd" и a'b'=a'b". Относительное удлинение стороны ad:
ди , , dx+—ах-а d — ad дх
¦dx
ad
dx
или
e„=-
ди_ дх'
(14)
Относительное удлинение стороны ab: * dv
- є a'b'-ab dy+T/y-dy y ab ' dy
15или
V= ?. (15)
ду
Деформация сдвига уХу определяется как изменение величины угла между отрезками ad и ab, первоначально параллельными осям X и у, т. е. Ввиду малости упругих деформаций можно
принять <x=tga= — и ?=tg?=-^<, тогда дх ду
у = to.+•*!., ' (16)
Yxy дх ду '
Выражения (14), (15), (16) представляют собою дифференциальные уравнения, связывающие деформации и перемещения.
§ 5. Уравнение неразрывности деформаций. Зависимость между деформациям« и напряжениями
При изучении деформаций из пластинки вырезается прямоугольный элемент и рассматривается его деформация. Деформации смежных элементов не могут быть какими угодно, они должны быть
взаимосвязаны. Например, с & в' _ если пластину разрезать
на квадратики бесконечно малых размеров (рис. 1 б, а), а после деформации их. сложить, то в общем случае между ними могут остать-РйС 16 1 , ся пустоты (рис. 16, б).
* Для того, чтобы де-
формированные квадратики' могли быть составными частями деформированной пластинки (рис. 16, в), необходимо, чтобы их деформации. удовлетврряли условию сплошности, т. ё. в пластинке под действием нагрузки не должны появляться трещины, разрывы или сдвиги одной части по отношению к другой. Пластинка, сплошная до !деформации, должна оставаться сплошной и после нее.
Математическое выражение условия сплошности мы можем получить', исходя из уравнений (14), (15), (16).
В эти уравнения входят три составляющие деформации єх, гу, уХу, которые выражаются при помощи двух функций и я v.
Эти составляющие деформации не могут бытьпроизвольными, между ними должна существовать определенная зависимость. Для установления этой зависимости исключим из уравнений (14), (15), (16) и и о.
16Дифференцируя уравнение (14) дважды по у, уравнение (15) "дважды по л: и уравнение (16) один раз по х м второй по у, находим: