Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если бы трения совсем не было, то процесс установления колебаний продолжался бы бесконечно долго. Реально это означает, что полученное без учета трения выражение (8) для амплитуды вынужденных колебаний будет правильно описывать колебания в системе только спустя достаточно большой промежуток времени после начала действия вынуждающей силы. Слова «достаточно большой промежуток времени» означают здесь, что уже закончился переходный процесс, длительность которого совпадает с характерным временем Т = l/у затухания собственных колебаний в системе.
§ 44. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
299
При малом трении установившиеся вынужденные колебания происходят в фазе с вынуждающей силой при ш < ш0 и в проти-вофазе при ш > ш0, как и в отсутствие трения. Однако вблизи резонанса фаза меняется не скачком, а непрерывно, причем при точном совпадении частот (ш = ш0) смещение л:(0 отстает по фазе от вынуждающей силы на л/2 (на четверть периода). Скорость л:(/) изменяется при этом в фазе с вынуждающей силой, что обеспечивает наиболее благоприятные условия для передачи энергии от источника внешней вынуждающей силы к осциллятору.
• Какой физический смысл имеет каждый из членов в уравнении (4), описывающем вынужденные колебания осциллятора?
• Что такое установившиеся вынужденные колебания?
• При каких условиях можно использовать формулу (8) для амплитуды установившихся вынужденных колебаний, полученную без учета трения?
• Что такое резонанс? Приведите известные вам примеры проявления и использования явления резонанса.
• Опишите сдвиг по фазе между вынуждающей силой и смещением при разных соотношениях между частотой со в вынуждающей силы и собственной частотой со0 осциллятора.
• Чем определяется длительность процесса установления вынужденных колебаний? Дайте обоснование ответа.
д Векторные диаграммы. Убедиться в справедливости приведенных выше утверждений можно, если получить решение уравнения (4), описывающее установившиеся вынужденные колебания при наличии трения. Поскольку установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающей силы ш и некоторым сдвигом по фазе Ф, то решение уравнения (4), соответствующее таким колебаниям, следует искать в виде
При этом скорость и ускорение, очевидно, тоже будут изменяться со временем по гармоническому закону:
Амплитуду а установившихся вынужденных колебаний и сдвиг фазы Ф удобно определять с помощью векторных диаграмм. Воспользуемся тем обстоятельством, что мгновенное значение любой изменяющейся по гармоническому закону величины можно представить как проекцию вектора на некоторое заранее выбранное направление, причем сам вектор равномерно вращается в плоскости с частотой ш, а его неизменная длина равна ампли-
x(t) = a cos (coZ + fl).
(Ю)
л:(0 = -сш sin (ш/ + й), х = -аш2 cos (ш/ + •&).
(И)
(12)
300
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
тудному значению этой осциллирующей величины. В соответствии с этим сопоставим каждому члену уравнения (4) вращающийся с угловой скоростью вектор, длина которого равна амплитудному значению этого члена.
Поскольку проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов, то уравнение (4) означает, что сумма векторов, сопоставляемых членам, стоящим в левой части, равна вектору, сопоставляемому величине / cos Ш, стоящей в правой части. Чтобы построить эти векторы, выпишем мгновенные значения всех членов левой части уравнения (4), учитывая соотно-
2ух = —27ша sin (cot + Ф) = 2уша cos (cut + Ф + л/2), (13)
х = — и>2а cos (u>t + ¦&) = u>2a cos (ш? + Ф + л).
Из формул (13) видно, что вектор длины 2уша, сопоставляемый величине 2ух, опережает на угол л/2 вектор сопоставляемый величине ш§л:. Вектор длины ш2а, сопоставляемый члену х, опережает на л вектор длины ш%а, т. е. эти векторы направлены в противоположные стороны.
Взаимное расположение этих векторов для произвольного момента времени показано на рис. 181. Вся система векторов вращается как целое с угловой скоростью ш против часовой стрелки вокруг точки О. Мгновенные значения всех величин
получаются проецированием соответствующих векторов на заранее выбранное направление NN. Вектор, сопоставляемый правой части уравнения (4), равен сумме векторов, изображенных на рис. 181. Это сложение показано на рис. 182. Применяя теорему Пифагора, получаем
шения (10)—(12):
—Шца cos (Ш + ч>),
Рис. 181. Векторная диаграмма вынужденных колебаний
Рис. 182. Вектор /0, сопоставляемый внешней силе
§ 44. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
301
откуда находим амплитуду установившихся вынужденных колебаний а:
(14)
V (<i)q — ш2)2 + 4-у2ш2
Сдвиг фазы я) между вынуждающей силой /(/) и смещением *(/), как видно из векторной диаграммы на рис. 182, отрицателен, так как вектор длины отстает от вектора /0. Поэтому
.Е 0 = 4=4. О) — О)0
(15)
Итак, установившиеся вынужденные колебания происходят по гармоническому закону (10), где а и я) определяются формулами (14) и (15).
