Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
*) В русской математической литературе вместо «порядок тензора» говорят валентность (или, реже, ранг) тензора.— Перев.
I
ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
373
всевозможные линейные комбинации тензбров вида X1X2 . ..
. . . xvxxx'„ ... x'q (называемых также разложимыми тензорами), где Xi — произвольные элементы из Е, а ж} — произвольные элементы из Е* (мы опускаем символ (g) в обозначении этих теп-
p4q
зоров). Пусть (§) A1v-другой модуль р раз контравариантных
V=-I
и q'раз ковариантных тензоров такой, что Ev = E, когда v есть один из членоп строго возрастающей последовательности Юі.<і;сГ; из р чисел интервала [1,р+<7], и Ev = E*, когда v есть один из членов строго возрастающей последовательности (к образованной остальными числами этого интервала; канониче-
] Ij-IJ
ский изоморфизм Efl на (? Ev относит каждому разложимому
V=: 1
тензору X1 .. . хрх[ ... х'ч (Xi ?/Y, x'j?E*) разложимый тензор УіУч ¦ ¦ • Ур+qi ГДС Vhl = Xi п ijk. -Tj (1 < г< р, 1 </< q).
Предположим теперь, что E обладает конечным базисом, (что, несомненно, является наиболее важным случаем); будем в дальнейшем обозначать через (^)1??,?!! базис в E*,
сопряженный к (ах) (гл. Jl, § 4, пс тогда модуль Efl обладает базисом из np,q элементов, образованным разложимыми тензорами axL ... ах^1 . . . а^ч, где (Ii) пробегает множество Iv всех последовательностей из р элементов интервала / = [I, n]dN, a ([Xj) — множество Г1 всех последовательностей из q элелгентов этого интервала. Говоря о компонентах тензора X^Ef1, мы всюду, где не оговорено противное, имеем в виду компоненты X относительно базиса, полученного таким способом, отправляясь от некоторого базиса (а*,) модуля Е; допуская вольность речи, их называют компонентами х относительно базиса (ах); компонента х относительно элемента ах ... ах a-ui . . . a}Lri обозначается
I. P wMj •• •
причем верхние индексы называются контравариантными, а ипж-ние — ковариантными; таким образом,
х = Г Ij1 ••• ••• c^q- Oi
(Xi). (Hj) 1 р
Если теперь (?у Ev — второй людуль р раз контравариант-
V=I
ных и q раз ковариантных тензоров такой, что Ex = E для V = Ai
374
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 4
(1 < г <р) и Ev=E* для V = Aij (1</<д), то базис этого модуля, соответствующий базису (ах) модуля Е, образован тензорами b1b2 ... bp+q, где Ьн.=ах. и 6Й. = Л', причем (Xi) пробегает Iv , а ((і-) пробегает Iq. Компоненты тензора, принадлежащего этому модулю, обозначают чаще всего так же, как и в случае модуля Eq; однако при желании избежать смешения этого модуля с другими контравариантный индекс Xi помещают на г-м месте, незанятые же места оставляют пустыми или помечают точкой; например, компоненты тензора, принадлежащего E <Э Е* (gi Е* <Э Е, обозначают ^1n „ или ^ когда пред-
j V
почитают точную запись, и | 1 2 —^ в противном случае.
Пусть (ах) — другой базис модуля E и (ах) — сопряженный базис в Е*\ если Р — матрица перехода от (ах) к (ах) (гл. II, § 6, п° 9), то матрицей перехода от (ах) к (ак) будет матрица 1P контрагредиентная к P (гл. II, § 6, п° 9 ); отсюда следует,
что в Е? матрицей перехода от базиса (^1 . . . ахр0^1 .. . а14*) к базису (а*, ... а% a?1 . . . а^і) служит тензорное произведение ••• <Э-Рр+9, где Pi = P (1<і<р) и pp+j^‘p-1 (1 <7< q). Аналогичный результат справедлив для любого другого модуля р раз контравариантных и q раз ковариантных тензоров.
Как мы увидим ниже (п° 4), при вычислениях с тензорами элементы матрицы перехода P принято обозначать а? (или, лучше, а^), где X—индекс столбца рассматриваемого элемента, а |Х — индекс строки', напротив, элементы контрагредиентной матрицы 1Р~1 обозначаются (или, лучше, где X — индекс столбца элемента, а |х —
% A-
индекс строки; при этих обозначениях компоненты E111 *** „р тензора
п • • • 11Q
—X А,
относительно базиса (а-А) выражаются через компоненты Sjj,1 цР этого тензора относительно базиса (ах) по формулам
Ді ... Ip Y X1 Xp „О; -Qi ... о
^ (о-но > 1 ' ' °" ' ‘' ^ 1 ' ' V
^ J
Замечание. Многие авторы придерживаются при вычислениях с тензорами такого соглашэния: если написано выражение,
2
ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
375
содержащее компоненты некоторых тензоров и, возможно, векторов выбранного базиса модуля E (или сопряженного базиса), то под ним подразумевается выражение, получающееся из него следующим способом: каждому из индексов, фигурирующих в написанном выражении один раз как верхний индекс и один раз как нижний (такие индексы называют «немыми индексами» выражения), придают все значения от 1 до и и затем образуют сумму всех полученных так элементов. При таком соглашении запись формул (1) и (2) принимает соответственно вид K1 . . . Xn Ц. Hrt
...••• fV ••• а ’
Л • • • 1P = а?-1 акр RaI R0'; Л " • 0P
Ч ... ив aO1 ••• OpfV1 ••• V
В настоящем трактате мы не пользуемся этим соглашением, которое могло бы повлечь досадную путаницу.
'2. Тензорные пространства; тензорные отображения
V 0
Пусть и — автоморфизм модуля Ewu- контрагредиентныи автоморфизм сопряженного модуля E* (гл. II, § 4, п° 10); тен-
