Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Захаровым и автором [11.1] для уравнения Кортевега - де Фриза. Наиболее
интересные приложения этого подхода связаны с проблемами квантования
нелинейных уравнений. Оно играет важную эвристическую роль при объяснении
слабой стохастизации цепочки осцилляторов [11.2] и оказывается весьма
существенным при доказательстве интегрируемости конечномерных систем,
связанных со стационарными точками потоков, порожденных высшими законами
сохранения [11.3]. В этой связи отметим, кроме того, что недавно
Манаковым [11.4] была доказана интегрируемость уравнений Л^-мерного
твердого тела.
11.1. Гамильтонова формулировка
Напомним основные элементы гамильтонова формализма, которые необходимы
для того, чтобы прояснить сделанные выше утверждения. Подробности могут
быть найдены, например, в [11.5, 11.6].
В основе гамильтонова формализма лежат:
I. Фазовое пространство, которое является 2ц-мерным многообразием Г 2л.
II. Замкнутая, невырожденная 2-форма Q на Г2л (симплек-тическая форма).
III. Гамильтонова функция Ж на Г2л.
В локальных координатах | на Г2л форма Q имеет вид
2 п
Q= Z Qa"dtaAdf,
а, 0=1
где матрица Qap антисимметрична, невырожденна, det||Qap||^ О, и
удовлетворяет условию
дцГЦ + цикл, перестановка = 0.
364
II. Гамильтонова интерпретация
Уравнения движения имеют вид
d V"* дН
где Н гамильтониан и матрица обратна к Qap. Тензорное поле часто
рассматривается как более фундаментальная величина, чем Qap, поскольку
оно определяет скобку Пуассона для функций на Ггп:
Уравнения движения при этом могут быть записаны в форме
Говорят, что система допускает переменные типа действие - угол, если
существует преобразование (р, <7)->Е, переводящее форму Q и гамильтониан
Н к виду
Если существуют глобальные переменные типа действие - угол, то говорят,
что система является вполне интегрируемой.
Полная интегрируемость весьма редкое явление в механике. Уравнения,
интегрируемые обратным преобразованием рассеяния, увеличивают число
примеров вполне интегрируемых систем, прибавляя к ним физически важные
бесконечномерные системы. Мы говорим о бесконечной размерности, поскольку
в дальнейшем роль ? будут играть функции переменной x^R1, а х будет
играть роль индекса а.
Изложим гамильтонову формулировку для ряда систем.
1. Уравнение sine-Gordon. Фазовым пространством является пространство
пар функций и(х), п(х), убывающих на бесконечности, \х\ ->оо.
Гамильтониан Н и форма Q суть
п
?2 = X dpi A dqt, Н - Н (р).
i=i
Гамильтоновы уравнения в новых координатах
тривиально интегрируемы:
p(t) = p(0), q(t) - q (0) + t.
(11.1)
00
H= ^ Я2-)(tm) [ul + 2tn(l - cosw)])d*,
Q = ^ 6л (x) Л 6и (x) dx
(11.2)
11.1. Гамильтонова формулировка
365
соответственно. Здесь m - масса, а у - константа взаимодействия.
Уравнения движения
й = \п; п =-~(ихх - m2 sin и)
эквивалентны уравнению второго порядка
utt - ихх + m2 sin и- О, (И-З)
которое называется уравнением "sine-Gordon". Константа у, которая
исключилась из уравнения, входит в скобку Пуассона и играет при
квантовании роль константы Планка Й,
{",(*), и (г/)} = уб (х - у).
2. Нелинейное уравнение Шрёдингера. Пусть теперь фазовым пространством
является пространство комплекснозначных функций ф(х), убывающих при |jc|-
*-oo. Гамильтониан
оо
н = \ (-2^'М>*± у1Ф14) dx
- 00
и форма
00
Q = Im ^ 6ф (*) л 6ф (*) dx; {ф(л:), ф (у)} = г'б (х - у) (11.4)
- 00
приводят к уравнению движения
Wt = - 2~^±2у|ф|2ф.
Это уравнение называется нелинейным уравнением Шрёдингера. Здесь m и у
суть масса и константа взаимодействия. Знаки перед у различают случаи
отталкивающего (+) и притягивающего (-) взаимодействия. Представляет
физический интерес и случай |ф|-*-р при |jc|-*-oo. Соответствующая этому
случаю форма й нуждается в более подробном определении, которое здесь
обсуждаться не будет.
Симплектические формы типа (11.2), (11.4) характерны для теории поля,
хотя ими не исчерпываются все интересные примеры. Убедимся в этом.
3. Уравнение Кортевега - де Фриза. Фазовое пространство состоит из
вещественных функций v (х), убывающих при J jc|-"- оо. Пусть
оо ОО 00
S (J + f3) dx; Q= ^ ^bv(x)A6v'{y)dxdy,
- оо -ОО -оо
так что
{"(*), v(y)} = 6'(x - у);
366
П. Гамильтонова интерпретация
уравнение движения в этом случае есть уравнение Кортевега - де Фриза
vt = {v, Н} = ~^= 6vvx - vxxx. (11.5)
Эта форма уравнения КдФ была предложена Гарднером, который использовал ее
для прояснения гамильтоновости этого уравнения [11.7].
4. Уравнение sine-Gordon в конусных переменных. В конусных переменных
? = x + t, г) = x - t
уравнение (11.3) превращается в
"^ = m2sin", (11-6)
и его решения могут быть параметризованы начальными данными m(ti) = ы(?>
Л) U> т- е- единственной функцией. Уравнение (11.6) является
гамильтоновым и порождается гамильтонианом Р+ и формой Q:
оо
Р+=-у- J (1 - cosu(Tj))dri,
- оо оо
Q=-^ jj 6"je (tl) Л б" (-п)
- оо
Несложно убедиться в том, что ограничение Q на решения уравнений движения
эквивалентно форме (11.2) и что Р+ есть оператор сдвига вдоль ?, Р+ = Н +
