Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Отмеченной трудности можно избежать, рассматривая только одномерный континуум решений, принадлежащих к одной и той же ветви (т. е. к ветви с фиксированным /) и имеющих одинаково направленные волновые векторы. Если использовать величину | у | в качестве параметра, характеризующего решения в такой ограниченной группе, то эти решения будут изменяться непрерывно с изменением | у | вплоть до точки у = О. В соответствии с этим мы разовьем метод возмущений, записывая вектор волнового числа в виде
и решая соответствующую систему уравнений (24.6) путем разложения в ряд по е всех величин, зависящих от волнового вектора. Этот вид разложения, очевидно, эквивалентен разложению по абсолютной величине вектора волнового числа при фиксированном его направлении. Величину е можно считать формальным параметром разложения, который в результатах должен быть положен равным единице.
Записывая волновое число в (24.7) в виде еу и производя разложение в ряд по е, имеем
еу
(26.1)
(26.2)
где
= (кк') = (к' к), (26.5)
§ 26. Длинноволновые акустические колебания
265
Имея в виду условие равновесия Фа(к) = О, легко найдем с помощью
(23.14), (23.21) и (23.11) следующие соотношения:
Аналогично представим' решения, принадлежащие к акустической ветви /, следующими разложениями :
Для акустических волн частоты стремятся к нулю при стремлении у к нулю; поэтому (26.9) начинается с члена, линейного в е.
Подставляя ряды (26.2), (26.9) и (26.10) в (24.10) и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях е, получаем уравнения метода возмущений
Левая часть равна нулю в уравнениях как нулевого, так и первого
циенты в уравнениях (26.11)—(26.13) вещественны, так что мы будем рассматривать только вещественные решения.
Уравнение нулевого порядка (26.11) имеет нетривиальные решения вида
где и(/) может быть произвольным вектором в пространстве. Тот факт, что (26.14) удовлетворяет уравнению (26.11), непосредственно
2 \:тк- С$ (кк1) = 2 Vm*- С$ (к• к) = 0, ik' к'
(26.6)
2' Vnv С$,,(кк') = У }'тк- С<й (кк0 ,
к' W
2 (тк тк')’- C$>Y (кк’) = 0. кк'
(26.7)
(26.8)
[ш(1) (J) |2 w<,0) j ;у) = \ С^,я (кк') уу уя (/с' |у] -
- 2 С% (кк') уу и’У (к' у) +1 ^ С<$ (кк') wf [к' У). (26.13)
кГру * к' р У IJ
порядка, так как ш2 [ ЕУ j квадратично в е. Отметим, что все коэффи-
(26.14)
266
Глава 5. Метод длинных волн
следует из соотношения (26.6). Имеются, очевидно, три независимых решения приведенного выше типа, соответствующих любым трем взаимно перпендикулярным векторам, выбранным соответственно в качестве и(/). Таким образом, мы имеем три ветви акустических колебаний, которые мы будем обозначать индексом /=1,2,3. Помимо того, что они должны быть независимы, векторы и(/) для всех трех ветвей остаются в этом приближении совершенно произвольными. Они впервые определятся тогда, когда мы перейдем к рассмотрению уравнений второго порядка.
Для нахождения решений уравнений первого порядка мы должны будем воспользоваться хорошо известной теоремой алгебры, которую можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим систему s уравнений с s неизвестными xlt х2, х3, .. . , xs:
i'АтпУп = Ст (ш = 1,2, s), (26.15)
П = 1
где левые и правые части называются однородными и неоднород-ными частями уравнений соответственно. Эти уравнения могут быть решены обычным путем, например с помощью использования матрицы, обратной Атп, только в том случае, если матрица Атп несингулярна, т. е. если
\Лтп [фО.
Если существует одно или более решений хт(/) ассоциированной системы однородных уравнений, получаемой приравниванием нулю однородной части (26.15)
>'Amnxn(j)= 0, (26.16)
П = 1
{где значок / нумерует различные решения, если имеется более чем одно решение), то матрица Атп сингулярна. Тогда система неоднородных уравнений (26.15) в общем случае неразрешима. Необходимым и достаточным условием ее разрешимости является
±'ХтЦ)Ст = 0 (26.17)
т — \
для всех /. Эти условия можно интерпретировать как соотношения ортогональности между Ст и хт(/), если рассматривать обе последние величины как обобщенные декартовы векторы с s компонентами.
Подставляя решение нулевого порядка (26.14) в (26.12), получаем уравнения первого порядка в виде
2 CiV т и#> (к' I *) = -2V^ С% (кк') yY щ (/), (26.18)
k'fl \ i!) fc'fjy
§ 26. Длинноволновые акустические колебания
267
гденеизвестны. Левая и правая части (26.18) отвечают