Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если точка экстремума зоны одновременно является и точкой вырождения, то положение несколько усложняется. Изоэнергети-ческие поверхности тогда уже не являются эллипсоидами; форма их зависит, в частности, от кратности вырождения и от свойств симметрии решетки. Нетрудно написать, однако, общее выргже-ние для функции Е (р) вблизи экстремума в практически важном случае, когда вырождение двукратное и экстремум энергетической зоны лежит в центре зоны Бриллюэна. Действительно, искомое выражение должно:
а) обладать двумя ветвями, которые смыкаются в точке р = 0;
б) иметь нулевые первые производные в точке р = 0;
в) содержать | р | в степени не выше второй.
В кристалле кубической системы единственную непрерывную функцию, удовлетворяющую поставленным условиям и обладающую должными свойствами симметрии, можно записать в виде
Е(р) = Е (0) + -2~ {ЛР2 — У+ С2 (РхР'у + PIP* + PiP')}у (8-6)
где А, В, С — безразмерные скаляры *); при этом А и В вещественны, а С может быть и мнимым (но С2 > — ЗВ2).
Тензор обратной эффективной массы тар можно ввести и в случае закона дисперсии (8.6). Однако теперь его компоненты уже не постоянны, а зависят от направления вектора р. Двум ветвям функ-
*) Условие того, чтобы точка р = О была экстремальной, а не седловой, сводится к неравенству А1 > В2 + V3 С- (если С2 > 0) или А2 > В2 (если
С* < 0).
122
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
ции (8.6) отвечают разные значения компонент mF,},. Соответственно говорят о зонах «легких» и «тяжелых» носителей заряда (обычно дырок — см. ниже § 9). Изоэнергетические поверхности, изображаемые формулой (8.6), называются гофрированными сферами. На рис. 3.8 изображено их сечение плоскостью (100).
Приводить тензор т«р к главным осям в данном случае не имеет смысла: поскольку компоненты его зависят от р, такое приведение
можно сделать, вообще говоря, лишь в нескольких точках зоны Бриллюэна, переходящих друг в друга при преобразованиях симметрии.
В ряде случаев отклонение поверхности (8.6) от сферической оказывается не очень большим. Тогда правую часть (8.6) можно приближенно заменить средним ее значением на сфере радиуса ] р |. При этом мы получаем две параболические зоны с изотропными законами дисперсии и разными эффективными массами т1 и т2.
Вырождение зон встречается довольно часто. Как указывалось в § 5, его можно ожидать, если зоны получаются в результате размытия вырожденных энергетических уровней электронов в атомах. Согласно § 7 такая картина может иметь место, например, в валентных зонах германия и кремния.
По определению, выражения вида (8.1) и т. п. справедливы лишь в окрестности данной точки экстремума. При удалении от нее начинают играть роль и более высокие члены разложения функции Е (р) по степеням ра — ра, 0. Об этом говорят как о непара-боличности закона дисперсии.
Для оценки условий, при которых закон дисперсии начинает заметно отличаться от параболического, следует решить уравнение (4.1). Оказывается, что непараболичность особенно заметна в полупроводниках с достаточно узкой запрещенной зоной. Законы дисперсии для некоторых таких материалов вьщисаны в § 9,
§ 9. Зонная структура некоторых полупроводников
Структуру энергетических зон в полупроводнике можно было бы рассчитать с помощью уравнения (4.1). Фактически, однако, при этом возникают весьма серьезные вычислительные трудности, для преодоления которых необходимы самые мощные современные электронно-вычислительные машины. Практически чаще используется комбинированный подход: такие параметры, как ширина
Рис. 3.8. • Сечение гофрированной сферы (8.6) плоскостью (100). Внешний контур соответствует «тяжелым» носителям заряда, внутренний — «легким».
§ 9] ЗОННАЯ СТРУКТУРА НЕКОТОРЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 123
запрещенной зоны, эффективные массы и т. д., определяют из "опыта, а методы квантовой механики применяют для того, чтобы получить предварительную ориентировочную информацию о возможном расположении максимумов и минимумов функций Et (р) в зоне Бриллюэна. Важную роль при этом играют соображения, связанные с типом химической связи, а также соображения симметрии.
Действительно, в точке экстремума р = р0 с необходимостью должно выполняться условие
VPE,(p) = 0. (9.1)
Обращение левой части (9.1) в нуль может произойти либо случайно — в результате взаимной компенсации слагаемых в выражении типа (5.17), — либо в силу симметрии. Так как энергия, согласно (4.4), есть четная функция р, то VpЕ[ (р) есть функция нечетная. Следовательно, она, будучи ограниченной, должна обращаться в нуль при р = 0: в центре зоны Бриллюэна энергия электрона в кристалле любого класса непременно имеет либо максимум, либо минимум, либо точку перегиба. В зависимости от типа симметрии кристалла функция Et (р) может оказаться четной (a VpEi (р) — нечетной) и относительно некоторых других точек в зоне Бриллюэна.
Таким образом, исследование свойств симметрии изоэнергети-ческих поверхностей позволяет заранее определить,' где именно надо искать экстремумы зон. При этом, как мы видели в § 8, удается определить направления главных осей тензора обратной эффективной массы и число различных главных его значений.
