Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Глава IV
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА II. КРИСТАЛЛЫ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
§ 1. Средние значения скорости и ускорения электрона в кристаллической решетке
Вычислим квантовомеханические средние значения скорости и ускорения электрона в решетке. По общему правилу квантовой механики средняя скорость дается выражением
V/(р) = $ фр/(г) vi|y(r)dr, (1.1)
А
где v — оператор скорости и интегрирование ведется по основному объему. По определению
V—/^V, (1.2)
где т0 — истинная масса электрона, а —ifly — оператор импульса. В качестве г)у в формулу (1.1) надлежит подставить функции
Блоха. (III.2.15'):
1|у = «Р/ exp (-J-pr).
Таким образом, равенство (1.1) принимает вид
= О-1')
Здесь принято во внимание условие нормировки (II 1.2.8).
Как видно из (1.1'), вообще говоря, V/ фр/т0: как уже отмечалось в § III.2, квазиимпульс р не совпадает с импульсом. Второе слагаемое в правой части (1.Г) вычислено в Приложении II. Подставляя формулу (П.П.10) в (1.1'), находим окончательно:
V,(P) = VP^(P). (1.3)
В правой части (1.3) стоит градиент от энергии электрона Et (р) в пространстве квазиимпульсов. Вообще говоря, этот вектор отличен от нуля. Исключение составляют лишь границы энергетических зон, где функция Ei (р) имеет экстремумы, а также точки перегиба
функции Et(p). Следовательно, отлична от нуля и средняя плот-
ность электрического тока j; (р), создаваемого одним электроном с квазиимпульсом р в /-той зоне. Действительно,
ii (р)= evt (р) — — e^pEi (р). (1.4)
130 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Подчеркнем, что отличные от нуля значения \[ и (р) получены здесь в предположении об отсутствии каких-либо внешних электрических полей. Это означает, что электрическое сопротивление идеального кристалла равно нулю. Конечное значение сопротивления обусловлено только отклонениями силового поля от идеально периодического в результате тепловых колебаний или наличия каких-либо структурных дефектов решетки.
Формула (1.3) становится особенно наглядной, если для энергии электрона воспользоваться формулой (III.8.4), Тогда (мы вновь опускаем индекс /)
Ясно видны как формальная аналогия между импульсом и квазиимпульсом, так и глубокое принципиальное различие между ними: т—не истинная масса, а эффективная, и формула (1.5) справедлива не при всех р, а лишь в некоторой области зоны Бриллюэна.
Равенство (1.3) можно переписать в несколько ином виде, если воспользоваться соотношениями де Бройля
р = Ш, Е = #<в,
где о — частота электронной волны, а к, как и в предыдущей главе, обозначает квазиволновой вектор. Тогда
v = Vk(0k. (1.3')
В теории волновых движений доказывается, что производные от частоты волны по компонентам волнового вектора определяют групповую скорость волны (см. [Ml], § 7; [М2], § 3; [М3], § 3). По этой причине среднюю скорость электрона в идеальной кристаллической решетке можно рассматривать как групповую скорость волнового пакета, составленного из функций Блоха.
Если поместить кристалл во внешнее поле, электрическое или магнитное, то состояние с данным квазиимпульсом станет нестационарным: квазиимпульс — ас ним и средняя скорость — будет меняться под действием поля. Ограничимся достаточно слабыми электрическими полями. Именно, будем считать, что напряженность внешнего электрического поля §, действующего на электрон, удовлетворяет неравенству
е%а Eg. (1.6)
При этом междузонные переходы под влиянием электрического поля маловероятны (см. § 6) и основная роль поля сводится к изменению квазиимпульса электрона в пределах данной зоны.
Вычислим производную от квазиимпульса по времени в присутствии внешнего поля. Для этой цели вспомним, что для средних значений квантовомеханических величин остаются в силе классические уравнения движения ([Ml], § 32; [М3], § 8),
§ 1] СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ СКОРОСТИ ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕ
131
Следовательно, изменение энергии со временем (в пределах данной зоны) должно определяться равенством
i^M = Fv,(p). (1.7)
Далее,
f). (1-8)
и, следовательно, равенство (1.7) можно переписать в виде
y-F)=°-
Это соотношение должно быть справедливо при любой ориентации вектора v. Поэтому должно удовлетворяться уравнение движения
? = F. (1.9)
По форме это соотношение совпадает со вторым законом Ньютона (если под р понимать импульс!). Фактически, однако, здесь имеется глубокая разница: в уравнении (1.9) вектор р—не импульс, а квазиимпульс, a F — не полная сила, а только сила, действующая на электрон со стороны внешних полей. Сила, действующая на электрон со стороны регулярных атомов решетки (создающих периодическое поле), не входит в правую часть (1.9): она уже учтена в виде