Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
закона дисперсии Et (р) и, тем самым, в формуле для средней ско-
рости.
Приведенный выше вывод уравнения (1.9) справедлив лишь для сил, способных совершать работу над электроном. В противном случае (например, для классической силы Лоренца, действующей на электрон в магнитном поле) равенство (1.7) обращается в тождество «О = 0». Само уравнение (1.9), Ьднако, остается в силе и для электрона, движущегося в магнитном поле. Доказательство этого утверждения оказывается более сложным; его можно найти в. книге [1], гл. 6.
Отличие уравнения (1.9) от второго закона Ньютона проявляется при вычислении среднего ускорения электрона а, Действительно, согласно (1.3) мы имеем
___ dv а _ d дЕ[ (р)
“ dt dt дра
Далее, как и при выводе уравнения (1.9), воспользуемся соотношением (1.8). Получим
d2Ei (р) dpp _ Фа фр dt '
откуда
dva (р, I) д2Е I (р) р (1.10)
dt драдрр
132 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Величины
о (ик
называют компонентами тензора обратной эффективной массы электрона в /-той зоне в точке р. Вообще говоря, они зависят от квазиимпульса; вблизи границ зон они совпадают с величинами (III.8.2). Видно, таким образом, что название «эффективная масса» имеет глубокий смысл: совокупность компонент / определяет в среднем всю динамику электрона вблизи границ-зоны. Заметим, что именно эти области энергии обычно играют главную роль в большинстве электронных явлений в полупроводниках: в условиях термодинамического равновесия носители заряда сосредоточены в, основном вблизи дна соответствующей зоны.
Уравнения (1.10) приобретают особенно простой вид вблизи границ невырожденных зон, когда для энергии можно воспользоваться выражением (II 1.8.5). Тогда, направляя оси координат вдоль главных осей эллипсоида энергии, мы имеем
ta- (1.10')
dt tna
(без суммирования по а!).
В частности, при одинаковых эффективных массах (тх -• ту = = тг ~ т) мы имеем
4г =—• (1.Ю")
dt т 4 '
Уравнения (1.10) — (1.10") оправдывают введенное в гл. I представление об эффективной массе носителя заряда, устанавливая вместе с тем и пределы его применимости (неравенство (1.6)).
Заметим, что уравнения (1.10) — (1.10") определяют лишь усредненное (в квантовомеханическом ,смысле) движение электрона. Для полного квантового описания требуется значительно большая информация, содержащаяся в волновой функции. В физике твердого тела, однако, чаете встречается ситуация, когда квантовые поправки к движению электронов во внешних полях достаточно малы. Действительно, характерная длина волны де Бройля в электронном
газе составляет % = где р — характерное значение квазиимпульса. В качестве такового для газа, подчиняющегося статистике Больцмана, следует взять «тепловое» значение р = ]/ mkT (в случае электронного газа в металлах оценка меняется, но окончательный результат остается в силе). Таким образом, Я == чт0
при Т = 300 К и m = m0 составляет около ДО-6 см. Как известно, одно из условий «классичнбсти» движения состоит в том, чтобы потенциальная энергия электрона медленно менялась на расстоянии Я. Видно, что это условие действительно часто выполняется.
ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
133
Подчеркнем, что речь идет в данном случае только о внешних полях. Движение электронов в периодическом поле идеальной решетки, безусловно, должно рассматриваться квантовомеханически. Все нужные нам характеристики этого движения, однако, сводятся к закону дисперсии Et (р) (в частном случае (1.10") — к эффективной массе т). Коль скоро закон дисперсии задан, дальнейшие рассуждения, касающиеся поведения системы во внешних полях, могут быть классическими. При этом уравнения (1.10) — (1.10") дают практически всю необходимую информацию.
§ 2. Электроны и дырки
Уравнения (1.10) — (1.10'') в сочетании с формулой для тока (1.4) позволяют придать ясный смысл представлению о «положительных дырках», введенному в гл. I на основании опытных данных о знаке постоянной Холла и термоэдс. Для этой цели заметим прежде всего, что, как мы знаем, эффективные массы, входящие в (1.10) — (1.10"), могут быть и отрицательными: так обстоит дело вблизи потолка энергетической зоны. Легко видеть, что это можно интерпретировать как изменение знака заряда носителя. Действительно, пусть F есть сила Лоренца
F = eg + {г [v X S3].
Видно, что в уравнения движения (1.10) — (1.10") входят не заряд электрона и компоненты тензора т'а$ по отдельности, а только определенная комбинация их: ета$ или, в случае (1.10"), е/т. Отсюда явствует,, что электрон с отрицательной эффективной массой ускоряется электрическим и магнитным полями как частица с положительной массой и положительным зарядом.
