Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
117
ментов — компонент квазиимпульса. К счастью, в большинстве задач физики полупроводников играет роль лишь сравнительно малая часть зоны Бриллюэна, отвечающая энергиям у дна или у потолка той или иной энергетической зоны. Как мы сейчас увидим, для описания закона дисперсии вблизи экстремумов зоны нет необходимости определять всю функцию Et (р) — достаточно задать лишь несколько констант.
Пусть экстремум /-той зоны лежит в точке р = р0/ и зона в ней не вырождена. Тогда вблизи точки экстремума функцию Et (р) можно разложить в ряд Тэйлора. Принимая обычное соглашение
о суммировании по дважды повторяющимся векторным индексам, мы имеем (опуская для краткости индекс I при р0)
— величины размерности обратной массы, а многоточием обозначены члены более высокого порядка, которыми в окрестности экстремума можно пренебречь. Слагаемые, линейные по р — р„, отсутствуют в правой части (8.1) по определению точки р0-
Так как значение второй производной не зависит от порядка дифференцирования, величины /Пар, / образуют симметричный тензор второго ранга. Значения ma^t зависят от выбора системы координат в р-пространстве. В частности, можно выбрать ее так [М5], чтобы компоненты та$, i при а Ф р обратились в нуль. Соответствующие оси координат называются главными, а компоненты i в этой системе координат — главными значениями данного тензора. Для краткости мы будем писать при них лишь один значок а; следует, однако, помнить, что это — компоненты тензора, а не вектора. •
Равенство (8.1), будучи отнесено к главным осям, принимает вид
При этом та > 0 или та < 0, если рассматриваемый экстремум есть, соответственно, минимум или максимум.
Поскольку величина Е( (р0) при заданном индексе I есть константа, уравнение (6.1) в этом случае принимает вид.
(Здесь и в дальнейшем мы опускаем для краткости зонный индекс /.) Таким образом, изоэнергетические поверхности вблизи невырож-
Ei (р) = Ес (ро) + у msj,. i (Ра - Ра, о) (Рр - Рр, о) + • • • (8.1)
Здесь
(8.2)
Е1(р) = Е1(р0)+1/, ? т^(ра-ра, о)2. (8.1')
а —к, у, г
const. (8.3)
118 [ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
денного экстремума представляют собой эллипсоиды с полуосями, пропорциональными У \тх \, У \ ту | и Y\ mz I *). и с центром в точке р = р0. Выбранные нами оси координат суть главные оси этого эллипсоида.
Константы тх, ту и тг не всегда независимы: они могут быть связаны условиями симметрии изоэнергетической поверхности. Рассмотрим, например, кристалл кубической системы. Тогда, как указано в § 6, изоэнергетическая поверхность должна обладать симметрией куба. В частности, она должна переходить сама в себя при поворотах на.90° вокруг каждой из взаимно перпендикулярных осей, проходящих через, центр куба и центры его граней; сами эти оси физически эквивалентны.
Здесь могут представиться два случая:
1) Экстремум функции Е (р) лежит в центре зоны Бриллюэна: р0 — 0. Таковы, например, изоэнергетические поверхности в зоне проводимости InSb, GaSb, GaAs и в некоторых других соединениях: дно этой зоны отвечает там точке р = 0. Из соображений симметрии ясно, что главные оси тензора в данном случае суть указанные выше оси куба. При этом тх = ту = тг = т и изоэнергетические поверхности у дна зоны представляют собой сферы с центром в точке р = 0:
Е(Р) = ЕС + (8.4)
Закон дисперсии (8.4) называют параболическим изотропным.
Для частного случая одномерной цепочки в приближении сильной связи равенство (8.4) уже было получено в § 5 (формула (5.19)). Как и там, величину т в (8.4) называют эффективной массой. В дальнейшем (§ IV. 1) мы увидим, что это название имеет не только формальный смысл: величина т определяет и среднее ускорение электрона во внешнем электрическом или магнитном поле.
Величины тх, ту, тг,, даже когда они неодинаковы, также называются эффективными массами, а совокупность величин тар — тензором обратной эффективной массы.
2) Экстремум лежит в точке р0 ф 0, при этом вектор р0, соединяющий данный экстремум с центром зоны Бриллюэна, направлен вдоль одной из осей симметрии кристалла. Из свойств симметрии изоэнергетической поверхности следует, что в этом случае должно существовать несколько физически эквивалентных экстремумов, расположенных в соответствующих точках на эквивалентных осях симметрии. Соответственно надо говорить о нескольких векторах р0 и нескольких эллипсоидах вида (8.3); мы будем нумеровать их верхним латинским индексом i, Изоэнергетическая поверхность
*) В случае максимума, когда та < 0, константа в правой части ^8.3) отрицательна: это есть энергия, отсчитанная от своего максимума.
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
119
в данном случае представляет собой совокупность всех этих эллипсоидов. Таковы, например, изоэнергетические поверхности в зонах проводимости германия и кремния. В первом из указанных материалов дну зоны проводимости отвечают точки, лежащие на объемных диагоналях куба (на оси [111] и ей эквивалентных в обратной решетке); во втором — точки, расположенные на оси [100] и ей эквивалентных,