Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Следует подчеркнуть, что формулы (3.7), (3.8) и (3.10) не выведены строгим образом, а угаданы. Соответственно даже в указанных выше условиях ими можно пользоваться лишь в целях ориентировки. Формула (3.11) в рамках определенных предположений получена строго; однако справедливость самих предположений, на которых основано выражение (3.10), в рассматриваемых нами условиях не вполне очевидна.
§ 4 *. Функция корреляции уровней электрона
в гауссовом случайном поле
Определенный интерес представляет расчет функции корреляции уровней Ч*1 (Е', Е"\ R) или условной вероятности р2(Е',Е"\ R) (см. (3.4)) методом оптимальной флуктуации. Как видно из § 2, при рассмотрении гауссова случайного поля влияние его удается учесть точно, и основная сложность состоит в решении нелинейной квантовомеханической задачи с соответствующим самосогласованным оптимальным потенциалом.
Как и в случае (2.5), ограничимся логарифмической точностью и уровнями, глубоко лежащими в хвосте плотности состояний. Теперь, однако, нас будет интересовать величина
р2 (Е', R) = (6 (?, [U (г)] - Е') б (Е2 [U (г)] - ?")>• (4.1)
Здесь Е1 и Е2— два самых низких дискретных собственных значения уравнения Шредингера. Им отвечают взаимно ортогональные вещественные волновые функции ^i(r) и ^2(г), локализо-
6*
« 4*. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ УРОВНЕЙ В ГАУССОВОМ ПОЛЕ 163
заться и отрицательной. При этом корреляция между уровнями в принятом приближении исчезает.
Оценка (3.13) может иметь смысл, если расстояние R, с одной стороны, столь мало, что влияние всех остальных ям несущественно, а с другой — столь велико, что [7 (S') + у(Е") ] R >¦
1 (при этом можно воспользоваться асимптотическим видом собственных функций дискретного спектра).
Наконец, функция (3.12) получена в предположении, что плотность состояний постоянна, а полное число уровней в системе конечно. Это означает, что данная аппроксимация может быть оправдана лишь при рассмотрении уровней, достаточно близких друг к другу: энергетическое расстояние между ними должно быть мало по сравнению с характерной энергией, на которой заметно изменяется плотность состояний. Далее, большие значения R не должны играть роли при усреднении. При этом объем пространства, по которому надо усреднять, оказывается эффективно ограниченным; число уровней в этом объеме и в рассматриваемом интервале энергии действительно конечно. Явный вид функции Ф в этих условиях, видимо, не играет особой роли, и можно просто положить Ф = 1.
Следует подчеркнуть, что формулы (3.7), (3.8) и (3.10) не выведены строгим образом, а угаданы. Соответственно даже в указанных выше условиях ими можно пользоваться лишь в целях ориентировки. Формула (3.11) в рамках определенных предположений получена строго; однако справедливость самих предположений, на которых основано выражение (3.10), в рассматриваемых нами условиях не вполне очевидна.
§ 4 *. Функция корреляции уровней электрона
в гауссовом случайном поле
Определенный интерес представляет расчет функции корреляции уровней W(E',E"-,R) или условной вероятности р2(Е', Е"; R) (см. (3.4)) методом оптимальной флуктуации. Как видно из § 2, при рассмотрении гауссова случайного поля влияние его удается учесть точно, и основная сложность состоит в решении нелинейной квантовомеханической задачи с соответствующим самосогласованным оптимальным потенциалом.
Как и в случае (2.5), ограничимся логарифмической точностью и уровнями, глубоко лежащими в хвосте плотности состояний. Теперь, однако, нас будет интересовать величина
р2 (Е', Е"; R) = (6 (Е{ [U (г)] - Е') б (Е2 [U (г)] - ?")>. (4.1)
Здесь Е1 и Е2 — два самых низких дискретных собственных значения уравнения Шредингера. Им отвечают взаимно ортогональные вещественные волновые функции ^i(r) и ^2(г), локализо-
164 ГЛ. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
ванные в ямах, центры которых расположены, соответственно, в точках R' и R" = R' — R. (Этим в известной мере предопределяется вид оптимальной функции t/0(r).) В отличие от задачи о плотности состояний, волновые функции г|)[ и г|э2 уже не обладают сферической симметрией. Однако по-прежнему это — функции с минимальным числом узлов.
Используем общий вариационный подход § 2, несколько видоизменив его применительно к настоящей задаче. Нетрудно установить, что три искомые функции — волновые функции i|5i и -ф2 и оптимальная потенциальная энергия t/o(r)— составляют вместе точку стационарности функционала
X[U(r), -ф, (г), яЫг)] =
= S[U (г)] + L [?', U (г), ф, (г)] + L [Е", U (г), ф2 (г)]. (4.2)
При этом функционал 5 определен формулами (2.2), (2.6),а
L [Е, U (г), ф (г)] = \dr {| (Vij))2 + [U (г) -E]tf}. (4.3)
Здесь и далее в этом параграфе использована система единиц, в которой h = т = 1. Волновые функции ipi и -ф2 в функционале (4.2) не нормированы, но должны удовлетворять очевидному требованию ортогональности
^ rfr -фц (г) -ф2 (г) = 0. (4.4)
