Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4*. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ УРОВНЕЙ В ГАУССОВОМ ПОЛЕ 167
характеризующего смешивание атомных функций. Минимизацию функционала Q по этому параметру гибридизации удается выполнить аналитически (А. Г. Миронов, 1976). Мы приведем результаты расчета.
Рассмотрим для конкретности случай 6-корреляции (П.7.37в):
? (г) = Фоб (г). (4.20)
При этом фигурирующие в функционале Q (см. (4.10)) интегралы (я,- и Jц с функциями (4.15) просто, хотя и громоздко вычисляются аналитически, и минимизировать надо явную функцию
параметров 71, 72. Л и R. Эта минимизация осуществима уже лишь численно, и мы приведем только результаты для случая близких энергий Е' и Е". Именно, положим
Е = ±(Е' + Е"), A = iil=p. (4.21)
и будем считать, что 71 = 72 = 7 и
А < 1 (4.22)
(фактически рассматривались значения А <0,15). Далее, введем безразмерное расстояние
х = \R. (4.23)
Расчет показывает, что характер гибридизации атомных волновых функций оказывается своеобразным: оптимальный параметр гибридизации rio определяется следующими соотношениями:
а) на больших расстояниях
cos 2rj0 (х) = А/х (.v) < 1, х > х0\ (4.24)
б) на малых расстояниях
cos 2т]0 (х) = х (*)/Д < 1, х < х0. (4.25)
Здесь х0 — корень уравнения
х (х0) = А; (4.26)
функция к(х) вычислена численно при х ^ 4, а при х>4 в пренебрежении членами ~е~2х мы имеем
х (*) = 2е~х (х2/3 - 2л: + 10 - 6/л:). (4.27)
Правая часть (4.27) при 4 ^\ х ^ 8 удовлетворительно аппрок-
симируется следующим простым выражением:
к(х) « 4,3ехр(— л:/1,3). (4.28)
Таким образом, мы имеем
*о(А)« 1,3 In (4,3/А). (4.29)
168 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
При х » х0 каждая из волновых функций ^(г) и г|52(г) практически совпадает с атомной, включая лишь экспоненциально малую добавку от «чужой» ямы. При х « х0 функции и гр2 становятся равными, соответственно, симметричной и антисимметричной линейным комбинациям атомных функций xi и %2. В обеих указанных ситуациях параметры ^ и у2 близки друг к другу и к оптимальному значению у0(Е) для «одночастичной» задачи:
Уо(?)=л/бТ?Г|- (4.30)
Наконец, при дальнейшем сближении ям, при х < х0, гибридизация атомных орбиталей снова уменьшается, но начинает возрастать общий для гр! и гр2 параметр у.
Результаты в аналитической форме удается получить лишь для больших значений х (х^>,4) и А <С 1. В этом случае явная зависимость 'F от А отсутствует — разность энергий определяет лишь степень гибридизации атомных функций. Мы имеем в указанной области
(Е', Е"-, Я)ъЧ (Е, x) = l-e~2X (^--±x3-j х2+2х+1 - |) .
(4.31)
Более наглядны результаты численного расчета, представленные в виде таблицы (см. табл. III).
Таблица III
x = yR 0,75 1,0 1,25 1,5 2,0 2,5
яУт 0,344 0,428 0,510 0,594 0,681 0,774
-InY 0,45 0,35 0,25 0,22 0,17 0,13
x = \R 3,0 3,5 4,0 4,5 5 6
Я Vi E I 0,971 1,18 1,59 1,82 2,03 2,46
-lnY 0,072 0,038 0.011 0,0053 0,0026 0,0007
Очевидно, на расстояниях R ^ 4у~' (Е) корреляция уровней уже пренебрежимо мала. С другой стороны, на меньших расстояниях она заметна и, очевидно, обусловлена в первую очередь квантовомеханическим «отталкиванием» уровней — перекрытием волновых функций; поскольку оптимальная флуктуация U0 выражается через квадратичные комбинации г|5[ и г|з2, характерные «размеры» ям вдвое меньше радиусов локализации волновых функций.
§ 5*. ФУНКЦИИ ГРИНА В ВИДЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА 169
§ 5*. Представление функции Грина
в виде континуального интеграла
Рассмотрим направление исследований, связанное с представлением функций Грина в виде интегралов по траекториям [36, 37]. Возможные преимущества этого метода видны из следующих соображений.
Во-первых, в любой из задач об электроне в случайном поле мы сталкиваемся с двумя на первый взгляд разнородными проблемами. Необходимо решить квантовомеханическую задачу о вычислении той или иной физической величины (например, одночастичной функции Грина) при заданной потенциальной энергии электронов. Далее надо выполнить статистическое ее усреднение по ансамблю случайных полей, что сводится к континуальному интегрированию с весом 9[U], Однако такое четкое разделение расчета на два этапа не всегда удобно и не всегда нужно. Дело в том, что при усреднении по случайному полю различные его конфигурации входят с разным весом; поэтому часть информации, получаемой на квантовомеханическом этапе решения задачи, может оказаться ненужной.
