Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где Ci = сг|и/а. С этим и связано название «локальная».
Рассмотрим несколько подробнее случай больших времен (см. (6.11)). Очевидно, оптимальными здесь будут траектории, точки которых максимально удалены друг от друга. Это — круговые орбиты, проходящие через точку х = 0 и произвольно ориентированные в пространстве. (В дальнейшем (§ 7) это утверждение будет доказано непосредственно.) Радиусы R указанных кругов должны быть велики по сравнению с оН.
В этих условиях нетрудно выделить основную часть зависимости функции Грина от времени. Действительно, возьмем, например, круговую орбиту ?(т), лежащую в плоскости ху. Это
означает, что мы должны приравнять нулю все коэффициенты
а, и Ьп в (5.4), кроме а0х, а\х и Ь\у\ последние имеют вид
а0х === Q-ix === biy ==
и
?(t) = .R{ai(cGs-^—l) + bi sin . (6.18)
При этом
| ?(т)| = -^у-, и = 2aR | sin •
178
ГЛ. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Функционал Q превращается теперь просто в функцию радиуса R:
я/2
Q (R) = - A. j Ф (2ая sin х) d%. (6.19)
о
В силу (6.11) естественно ожидать, что существенные значения радиуса R здесь будут велики. Соответственно допустим, что aR 1 (справедливость этого допущения будет вскоре доказана непосредственной проверкой). В указанных условиях достаточно взять лишь асимптотическое выражение для интеграла, фигурирующего в (6.19):
л/2
F(%)=^ (и sin Х)> % = 2aR. (6.20)
о
При м 1 и Re х > 0 мы имеем
F (и) « с/х. (6.20')
Здесь использованы условия г) (стр. 174) и равенство (6.16). Соответственно функция Q(R) принимает вид
п(п, 2n2iR2 ct2^x /р oi\
Qw = —------------шк- <6-21)
Помимо прочих параметров, описывающих траектории, интегрирование должно вестись и по переменной R. В указанных выше условиях последний интеграл можно вычислять методом перевала, распространяя интегрирование по R в комплексную плоскость. Положение сёдел функции
ехр {<?(?)} (6.22)
определяется уравнением
___4n2iR0 | С^2-Ф
dR ' ~
0—
(6.23)
Интересующий нас корень (6.23) имеет вид
л"«=тИ^1гТе‘® (6-24>
Сравнивая это с (6.8), видим, что условие aR >¦ 1 сводится к
неравенству t > tc, которое в рассматриваемом случае заведомо
выполняется.
Подставляя выражение (6.24) в (6.21), находим основную зависимость функции Грина от времени в случае (6.11):
Gr (/) ~ ехр | — j e~inlb t (-^)2/3} • (6.25)
§ 6*. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
179
Видим, что при больших временах (t tc) имеет место экспоненциальное затухание функции Грина со временем.
С другой стороны, при малых временах, когда XiX2 «С 1, Я2 «С 1, мы имели бы
Qn м — А|),/2
и
Gr{l) ~ ехр (— (6.26)
Вывод о том, что при больших временах (t >> tc) оптимальными траекториями оказались круги большого радиуса (|а/?|3> 1), позволяет нам одновременно указать и конкретный способ интегрирования по всем траекториям в данном случае. Именно, поскольку для оптимальной траектории ?(т) (6.18) величина и = Uq велика почти при всех т и т' для достаточно широкого класса траекторий, близких к 5(т), допустимо разложение функционала Q„ в ряд по би/но- Это позволяет свести весь континуальный интеграл к гауссову, после чего он вычисляется до конца (пример такого расчета приведен в § 7).
Геометрические соображения относительно оптимальной роли круговых орбит остаются в силе и при произвольном соотношении между t и tc, если только велик параметр Я) (т. е. в случае (6.12)). Соответственно остается в снле и выражение (6.19), и можно определить комплексный оптимальный радиус R0 как соответствующий корень уравнения
= (6.23')
Будучи интегралом от непрерывной корреляционной функции Ф, F{y) есть достаточно гладкая функция своего аргумента. Следовательно, при |х|<С1 справедливо разложение
F (и) = л/2 — с2х, (6.27)
где с2 — величина порядка единицы, не зависящая от х.
Подчеркнем, что это сводится к разложению функции W(аи) по ее аргументу, т. е. по |г — г'|, а не по компонентам вектора г — г'. Это обстоятельство существенно. Так, при оси «с 1 разложение функции е~аи по ее аргументу, очевидно, оправдано; в то же время производные от нее по компонентам вектора г — г' имеют особенности при г'->г.
Подставляя выражение (6.27) в (6.23'), мы получаем
