Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В связи со сказанным важно отметить, что в ряде задач слагаемое Qn необходимо удерживать в экспоненте даже тогда, когда оно по тем или иным причинам мало. Действительно, разложение функции Грина по степеням Qn означало бы переход к обычной теории возмущений; хорошо известно, однако, что хвост плотности состояний не улавливается ни в каком конечном ее порядке.
§ 6*. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
175
Для дальнейшего удобно воспользоваться представлением траекторий х(т) в виде (5.4). Подставляя его в выражения (6.1) и полагая х = ф^/2л, х' = q't/2n, мы получаем
Чг = Чг/'ф1 есть корреляционная функция, выраженная в единицах -ф 1 и зависящая от безразмерного аргумента аи, а
Здесь принято во внимание условие а).
В силу условий а) и б) безразмерный функционал A sg: 1. С учетом условия в) видим, что поведение функционала
Рассматривая не саму функцию Грина (5.14), а ее фурье-образ по времени, следует заменить аргумент t в (6.5) — (6.7) на Е~[, где Е—-интересующее нас значение энергии.
Соотношения между параметрами Аь Я2 и т. д. определяют условия применимости различных приближенных способов вычисления континуального интеграла (5.14). Отметим несколько характерных случаев.
где
2л 2л
(6.3)
о о
Ai = t|>i/2, Я2 = а-\/7-
В обычных единицах выражения (6.5) принимают вид Я) = я|i\t2IKl, Я2 = (a2ht/m)112.
(6.6)
(6.5)
Иногда удобно вводить комбинации этих параметров
Я3 = = а*/% \ = (Я^2)-1/3 ^ tjt,
(6.7)
где
4 = (i|)ia2) 1/3,
(6.8)
или, в обычных единицах,
lc = (mh/a2in)[l3.
(6.9)
176 ГЛ. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
а) «Классический» случай. Пусть
Я3<С1, Я2<С 1, Я,Я2<1. (6.10)
Эти неравенства определяют область параметров, в которой квантовые эффекты относительно невелики. Второе и третье неравенства (6.10) позволяют заменить нулем аргумент а и в формуле (6.3)*) (второе обеспечивает возможность разложения 4я в ряд по сш, третье — возможность пренебречь соответствующими поправочными членами в функционале Qn). Первое из неравенств (6.10) появляется при вычислении плотности состояний, когда аргумент i заменяется фактически существенным его значением (см. ниже). Заметим, что неравенства (6.10) могут быть не независимы. Для дальнейшего, однако, удобно выписать их все.
В условиях (6.10) выбор оптимальных траекторий тривиален: все они близки к точке х = 0. Полагая А= 1, мы приходим к известному «квазиклассическому» приближению [35]; поправки к нему получаются за счет небольших отклонений А от единицы (они рассматриваются ниже).
б) Случай больших времен. Пусть
А,»1, Л2»1. (6.11)
Очевидно, при этом «С 1, т. е. t >> tc. С такой ситуацией приходится сталкиваться, например, при вычислении плотности состояний в области малых энергий, т. е. вблизи перенормированной границы зоны. Значения а и здесь для большинства траекторий велики. Как мы увидим, это обстоятельство позволяет выделить оптимальные траектории, по возможности уменьшая значение интеграла А.
в) Аппроксимация «сильного случайного поля». Ослабим условия (6.11), сохраняя только первое из них:
А,Е=г|^2»1. (6.12)
Очевидно, это означает, что флуктуации случайного поля в некотором смысле велики. Так, в задаче о плотности состояний неравенство (6.12) принимает вид
УРГ»|?|- (6.13)
Второе из неравенств (6.11) при этом может выполняться или не выполняться; возможен также и случай, когда неравенство (6.12) комбинируется с (6.10).
*) Исключение могли бы составить траектории с очень большими значениями коэффициентов а„ и Ъп. Они, однако, не дают заметного вклада в интеграл (5.14), ибо для них QK ~ А?"2.
5 6*. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
177
Условие (6.12) позволяет приближенно вычислять континуальный интеграл (5.14) по методу перевала.
г) «Локальная» аппроксимация. Ослабим теперь условия
(6.11), сохраняя только второе из них:
Л2 = аУГ» 1. (6.14)
При этом главную роль в интеграле А играют малые (по модулю я) значения разности |ф — q/|, и мы получаем
2л
Qn = - ^------------- , (6.15)
а (2я)2 J V п (— ati cos ИФ + sin иф)
0 1
где
ОО
с= jj dyW (у). (6.16)
о
Здесь использовано условие д) (стр. 174).
Заметим, что в знаменателе подынтегрального выражения в
(6.15) стоит не что иное, как модуль скорости |х(т) |. Аппроксимация (6.14), (6.15) сводится, в сущности, к замене
'Р (I х — х' |) —> С]6 (| х — х' |), (6.17)
