Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Во-вторых, две названные выше проблемы только кажутся разнородными. Действительно, в рамках развитой Фейнманом лагранжевой формулировки решение квантовомеханической части задачи также сводится к континуальному интегрированию. Отличие от усреднения по случайному полю состоит лишь в использовании другой меры в функциональном пространстве.
Заметим, что само по себе фейнмановское представление для функции Грина отнюдь еще не облегчает решение задачи при каком-либо конкретном виде t/(х). Исключение составляют лишь простейшие примеры, когда континуальный интеграл сводится к бесконечному произведению гауссовых интегралов, и только в этом случае он находится точно. Однако в настоящей задаче мы получаем возможность перестановки однородных операций континуального интегрирования по U(x) и по траекториям. Из дальнейшего будет видно, что при этом может заметно упроститься квантовомеханическая часть расчета. Выполнив сначала усреднение по U(x), мы фактически внесем в расчет конкретную информацию, связанную с такими статистическими характеристиками случайного поля, как средний его квадрат <t/2(x)>, функция корреляции (U(x)U(x')) и т. д. Тем самым в задачу войдут новые физические параметры типа средней интенсивности случайного поля или характерной длины корреляции. Это позволяет развивать приближенные методы расчета сообразно малой или большой величине подобных параметров.
170 ГЛ. III. ПЛОТНОСТЬ состоянии И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Второе обстоятельство, привлекающее интерес к указанному подходу, состоит в том, что приближенное вычисление бесконечнократных континуальных интегралов может быть проведено с помощью современной вычислительной техники.
Ограничимся одноэлектронной постановкой задачи (в смысле, указанном в § II. 1). Согласно [36], запаздывающую антикоммутаторную одночастичную функцию Грина Gr(x, х'\ t) для электрона, движущегося в заданном поле U(x), можно записать в виде континуального интеграла по всем траекториям х(т), проходимым за время t из точки х в точку х
Gr (х, х'; t) =
\ t t |
= (2tQit?hN \ ® Iх W] exP j \ ^ x2 ^ d% ~ 1 S U ^ d% I ' ^5' ^
( ni ’ 10 0 j
При этом
x (0) = x, x (/) — x', x (т) = dx (r)/dx. (5.2)
Мы пользуемся здесь системой единиц, в которой h = m = 1; через Q(t) обозначена ступенчатая функция, а N есть нормировочный множитель. Его легко найти, замечая, что при U = 0 мы должны получить известное выражение для свободной функции Грина:
^ (Х’ х/; 0 = \ [Х (Т)] 6ХР j J 5 Х"(Т) dx
- lQ(t) схрГх (х~х/)21 (5 3)
”(2^eXPL 2/ J' (5’d)
Это условие, однако, еще не полностью определяет вид N. Действительно, явное выполнение континуального интегрирования требует того или иного способа задания семейства допустимых траекторий х(т), относительно которых не выдвигается никаких условий, помимо непрерывности и фиксирования концов. Для описания этого семейства требуется бесконечный набор параметров, по которым и производится интегрирование. Названными параметрами могут быть, например, значения компонент вектора х(т) в моменты времени nt/k при ?->оо, п— 1,2, ... ..., k — 1, как это было принято в исходной формулировке Фейнмана, или же коэффициенты разложения функции х(т) по какой-либо полной системе функций на интервале (0,^). Выбор способа параметризации семейства х(т) определяется соображениями удобства. Для вычисления плотности состояний р (Е) надо знать усредненную функцию Грина при совпадающих пространственных аргументах: х = х', причем после усреднения
5 5*. ФУНКЦИИ ГРИНА В ВИДЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА 171
можно положить х = х' = 0. Это означает, что еще до усреднения величины (5.1) мы должны вычислять ее как интеграл лишь по замкнутым траекториям: х(0) = х(/) = 0. Подобные траектории удобно представлять в виде рядов Фурье
х (т) ^ ? [а" cos + b" sin ^Г~\’ (5-4^
П = О
причем коэффициенты разложения должны удовлетворять условию
м
ао:
Соответствующий нормировочный множитель Nm нетрудно найти, вычислив фигурирующий в (5.3) интеграл:
NM-
I
Ф [х (т)] exp I у ^ х2 (т) d.% I =
\ о I
м. м.
Д J dnn dbn exp { i (a.1 + h\) } = Д )3. (5.6)
n=l rz=l
Знак (^)
указывает на то, что континуальное интегрирование
проводится по замкнутым траекториям, выходящим в момент времени т = 0 из точки х и возвращающимся в нее же в момент времени т = /. На форму этих непрерывных траекторий не накладывается никаких дальнейших ограничений — они могут быть сколь угодно ломаными, самопересекающимися и т. д. Окончательный результат определяется как предельное значение бМ-кратного интеграла по переменным а„, Ъп с нормировочным множителем Nм при М—*оо. На доказательстве существования такого предельного значения при расчете конкретных физических величин мы останавливаться не будем.
