Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ro(t) = i^t3- (6.28)
Отсюда следует, что условие малости аргумента х сводится к неравенству t «С tc.
180 гл. ш. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Равенство (6.21) дает теперь, с учетом (6.9),
Очевидно, в условиях t <С tc существенно лишь первое слагаемое в (6.29), и мы имеем выражение (6.26). Таким образом, при малых t оптимальные орбиты почти стягиваются в точку и = 0. Это означает, в частности, что интегрирование по траекториям, близким к оптимальным, уже нельзя проводить так, как это было сделано в случае больших времен. Действительно, разложение функционала Q„ по отклонениям 8и/и0 здесь может оказаться неоправданным. Положение облегчается, если выполняется еще условие
Действительно, при этом для всех существенных траекторий, включая оптимальные и близкие к ним, функционал Q„ слабо отклоняется от значения —\f>it2/2. Вклад траекторий больших размеров мал в силу быстрых осцилляций величины exp QK. Отсюда вытекает, что под знаком континуального интеграла допустимо разложение по величине Qn — (—гр^2/2). Заметим, что основное слагаемое —ty\t2/2 сохраняется при этом в показателе экспоненты. Таким образом, мы наметили также и путь расчета для случая t -С tc. В области промежуточных времен t ~ tc можно использовать решение уравнения (6.23) для построения интерполяционной формулы, дающей основную зависимость функции Грина от времени, или же просто приближенно сшить выражения, полученные для малых и больших времен.
§ 7 *. Вычисление континуального интеграла
для Gr(t). Плотность состояний
При явном расчете функции Грина целесообразно задать конкретный вид корреляционной функции Ч'Хг). Возьмем ее в простейшем виде:
Это выражение удовлетворяет условиям а)—д) (стр. 173—174). Оно имеет и непосредственный физический смысл. Так, корреля-ционная функция вида (7.1) возникает в задаче о сильно легированном полупроводнике с некоррелированным распределением атомов примеси в пространстве (см. Приложение IV)*). При
^2^1-
(6.30)
Ч* (г) = а|)1е_аг.
(7.1)
*) Как мы видели в § 11.7, случайное поле в такой системе при известных условиях можно рассматривать как гауссово.
§ ?•. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ 6r (t) 181
этом роль характерной длины а-1 играет радиус экранирования г0, а
¦ф, = 2 ял)е4г0/е2. (7.2)
Будем считать для простоты, что
A3 = a4/ij5i<Cl. (7.3)
В задаче о примесном полупроводнике это есть обычное условие «сильного легирования» [35]. Заметим, однако, что область применимости данного метода отнюдь не ограничивается этим условием.
Обратимся сначала к сравнительно простому, но важному случаю «малых времен»:
t<tc. (7.4)
Тогда, как объяснено в конце предыдущего параграфа, при разложении функции Грина по отклонениям от основного члена ехр (—-§\Р/2) для функции Грина получается приближенное выражение
~ G<0) (0 exp (— V2/2) { I + ^4---Jfi- 5 ® lr (T)l ехР {Qk [г (т)]} х
t t .
X {j dr dr' exp [— a | г (т) — r (t') | ] J.. (7.5)
0 0 )
Здесь фигурирует уже сравнительно простой континуальный ин-
теграл. Положим
t t
1 If S ^ ^ Sd% Sdx'ехр г г (т/) I} (7-6)
0 0
и перейдем к фурье-образу W (г):
7 (*>=- ^ (dx (dx' w S x
о 0
X -Jj- 5 ^ tr (T)] exp {Qk [г (t)] + гкг (t) — Zkr (t')} =
t t OO
^SdrSdr'S J+Zr j^k’x~т'>*>• (7-6')
0 0 0
Континуальный интеграл J\ берется элементарно:
/,(*, т-т', 0 = ехр[-|й2ф(1 -Р)], Р = iLz.r' I . (7.6")
182 гл. III ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Введем новые переменные:
s = k/a, у — 2(т — x')/t — I, г2 = (1/8) а2/ (1 — у2). (7.7)
Тогда после несложных преобразований получим
I оо
J (t) =----^ dy 5 ds s2 ехр ---------------(s + /)2sj . (7.8)
Здесь уже допустимо разложение по zs ~ (*/*с) ^з/12- В результате несложного интегрирования находим, отбрасывая слагаемые высшего порядка малости по t/tc:
О, т - аТ («ехр (- i Ч>,<2) + ~^ Ч., [ 1 - ехр (- } *,/>).
(7.9)
Формула (7.9) получена при t < tc. Легко убедиться, однако, что при вычислении фурье-образа
оо
Gr(?) = ^$ eiEtGr (t)dl
о
существенны следующие значения аргумента t:
/ ~ | Е l/ф, при («большие энергии»),
Z sSj 1|э,-1/2 при («малые энергии»).
