Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Подынтегральное выражение в (5.1) содержит потенциальную энергию U (х) только в виде линейного функционала в экспоненте:
exp | — iz ^ dx' U (х') I (х') j, (5.7)
где
t
zl (хО = ^ dx 6 [х' — х (т)]. (5.8)
172 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Это означает, что усреднение функции Грина по случайному полю сводится просто к замене (5.7) характеристическим функционалом (см. (II. 7.8))
А (zl) = ^ехр | — /г ^ dx U (х) / (х) =
= ^ Я) [С/] 0* [С/] ехр | — /г ^ dx U (х) / (х) |. (5.9)
В ряде случаев функционал A(zl) оказывается достаточно простым, с чем и связана практическая эффективность данного метода расчета.
В дальнейшем мы будем рассматривать случай гауссова поля. Охватывая довольно широкий круг физических условий, этот случай вместе с тем интересен и с чисто методической точки зрения. Дело в том, что характеристический функционал здесь имеет особенно простой вид, что позволяет сравнительно легко исследовать различные аппроксимации, используемые на квантовомеханическом этапе решения задачи.
Ограничимся также макроскопически однородными и изотропными системами. Тогда можно положить
<?/(х)> = 0, (5.10)
и характеристический функционал имеет вид (сравните с (II. 7.20))
A (zl) — ехр j — ^ dx dx'I (х) Ч7 (х, х') I {х') |, (5.11)
где Ч^х, х') есть бинарная корреляционная функция случайного
поля:
W(x,x') = (U(x)U(x')).
В рассматриваемых условиях
?(х, x/) = 4f(|x-x'|). (5.12)
Заметим, что в силу (5.10) начало отсчета энергии совпадает у нас с перенормированной границей зоны проводимости (или дырочной), отвечающей вспомогательной задаче об идеальном материале. («Перенормировка» состоит в добавлении к Ес (или Е0) среднего значения потенциальной энергии электрона (дырки) в случайном поле.)
С учетом формулы (5.8) для /(х) находим окончательно
§ 6*. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
173
Соответственно, усредненная функция Грина от совпадающих пространственных аргументов принимает вид [37]
<G^x;'» = T^$®[xWIX
( t t t .
X exp| -J U x2(x)dx — у ^ dx ^ dx'4? (| х(т) — х(т') I) ? (5.14)
'•o oo '
В формуле (5.14) мы указали символически нормировочный множитель N для континуума траекторий х(т), подразумевая при этом выполнение описанного выше предельного перехода для интегралов, вычисленных по конечномерному пространству траекторий.
§ 6 *. Качественное исследование усредненной
одночастичной функции Грина
Ряд выводов относительно временной зависимости усредненной одночастичной функции Грина (Gr(x, х; t)) иногда удается сделать, не вычисляя полностью континуальный интеграл; явный вид корреляционной функции Ч- при этом также не играет роли. Так обстоит дело в тех случаях, когда можно указать наиболее существенные траектории, дающие основной вклад в интеграл в правой части (5.14). Для этой цели достаточно проанализировать сравнительную роль двух слагаемых в показателе экспоненты в (5.14):
t t t
QK = у ^ x2 (т) dx, Q„ = — у J rft J dx'W (| x (т) — x (t') |). (6.1)
0 0 0
Величины QK и Qn можно назвать кинетической и потенциальной частями действия (разумеется, последнее наименование носит несколько условный характер, ибо слагаемое Q„[x(t)] отвечает мнимому и нелокальному потенциалу взаимодействия). Качественный анализ роли функционала Q„[x(t)] требует задания лишь общих характеристик корреляционной функции 'Р. (Заметим, кстати, что именно эту функцию удобно задавать при феноменологическом подходе к задаче.)
Будем считать, что Ч- (х) удовлетворяет следующим условиям:
а) Чг(0) = хр1 = <и2)<<х>;
б) Ч^х) монотонно убывает с ростом |х|;
в) убывание Ч'(х) характеризуется единственной длиной |0 = 1/а; на этой длине функция Ч- убывает на величину порядка ее самой;
174 гл III ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
г) 'F(x) ^ 0;
оо
д) (j ? (I X |) of | X ! < оо. о
Условие а) в гауссовом поле выполняется всегда; условия
б), в) и г) несколько ограничивают постановку задачи, но все же охватывают достаточно широкий круг физических систем. Простыми примерами могут служить выражения
Т Iх I и Ч'’ ==
Итак, в соответствии со сказанным в предыдущем параграфе, мы пришли к задаче об исследовании континуального интеграла от сравнительно простого выражения, в котором вместо случайного потенциала U(х) фигурирует регулярная функция 'F(x). Характеризующие ее параметры г|л и |0 = от1 позволяют классифицировать различные ситуации по величине соответствующих характерных энергий или времен, а также по характерным размерам существенных орбит — замкнутых траекторий. Выделить существенные траектории позволяет следующее соображение. Траекториям, проходимым с большими скоростями | х ], отвечают большие по модулю значения мнимого функционала QK, что приводит к быстрым осцилляциям подынтегрального выражения в (5.14) в случае близких траекторий. В результате конечный вклад в свободную функцию Грина G°r(t) дают лишь орбиты, линейные размеры которых по порядку величины не превышают д/I • Однако при учете взаимодействия со случайным полем, описываемым с помощью функционала Qn, подобные траектории могут оказаться невыгодными. Действительно, пусть характерный размер траектории есть L. Если aL <С 1, то для всех таких траекторий аргумент корреляционной функции Чг(|х(т) — х(т')|) практически равен нулю, а именно вблизи точки х = 0 слагаемое с *F(|x|) дает наибольший* по модулю отрицательный вклад в выражение под знаком экспоненты в (5.14). Таким образом, оптимальные траектории должны отвечать условию компенсации обеих тенденций — с увеличением размеров орбит «кинетическое» слагаемое QK приводит к убыванию, а «потенциальное» Q„ — к возрастанию их вклада в Gr(t).
