Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Работа была частично поддержана РФФИ, (номер 98-01-00240), а также грантом поддержки ведущих научных школ (номер 96-15-96142) и грантом президента России (номер 96-16-96868).
Глава 1 Основные понятия
1.1. Линейная симплектическая геометрия
Определение 1.1. Линейное пространство V (вещественное или комплексное) называется симплектическим, если на нем задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма ш.
Эту форму мы будем называть симплектической структурой на линейном пространстве V.
Если в V выбран базис е±, ... , ет, то форма и) однозначно задается своей матрицей = (uJij), где u)ij = ej). Эта матрица кососимметрична и невырождена. Отсюда сразу следует, что размерность симплектического пространства V четна, поскольку
где т = dim V.
Предложение 1.1 (Линейная теорема Дарбу). В пространстве V существует базис е±, ... , еп, /1, ... , fn, в котором матрица симплектической формы Q, имеет вид
где Е = Еп — единичная матрица размера п х п. Такой базис будем называть каноническим или симплектическим.
Из этого утверждения сразу следует, что два симплектических пространства одинаковой размерности V и V' всегда изоморфны, то есть существует линейный изоморфизм h: V —У V' такой, что и) (а, Ь) = а/(ha, hb) для любых векторов а и Ь.
Определение 1.2. Линейное подпространство L в V называется изотропным, если ограничение формы и; на L тождественно равно нулю, т. е. ш(а, Ь) = 0 для любых а, Ъ G L. Максимальное изотропное подпространство называется лагран-жевым.
Легко проверяется, что изотропное подпространство L является лагранже-вым тогда и только тогда, когда его размерность равна п. Примером лагран-жевых подпространств являются n-мерные плоскости, натянутые на векторы ei, ... , еп и на векторы Д, ... , fn канонического базиса.
Определение 1.3. Линейное преобразование g: V —у V называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую структуру, т. е. ш(а, Ъ) = сu(ga, gb) для любых a, b G У.
det = det flT = det(—О) = (—l)m det fI,
12
Глава 1
Определение 1.4. Совокупность всех симплектических преобразований пространства V называется симплектической группой и обозначается через Sp(2n, М) (или Sp(2n, С) в комплексном случае), где п — половина размерности V.
Предложение 1.2.
а) Симплектические преобразования унимодулярны, т.е. det g = 1 для любого g 6 Sp(2n, Ж) (или g G Sp(2n, С)).
б) Характеристический полином Р(А) = det^ — ХЕ) симплектического вещественного преобразования g обладает свойством
Р(X) = Х2пР .
В частности, если А — собственное число симплектического преобразования g, то А-1 — тоже собственное число той же кратности.
Доказательство.
а) Для доказательства первого утверждения достаточно рассмотреть 2п-фор-му т = wAo;A---Acii. В силу невырожденности симплектической структуры
41 V ^
п раз
форма т будет ненулевой формой максимального ранга на V. Поэтому ее можно интерпретировать как форму ориентированного объема. Симплектическое преобразование g вместе с формой ш сохраняет, очевидно, любую ее степень и, в частности, форму объема т = Следовательно, detg= 1.
б) Из определения симплектического преобразования следует, что gTClg = 1).
Перепишем это соотношение в виде g = Отсюда
Р(X) = det(g-XE) = det(irVlTD - ХЕ) = det ir1^-1 - ХЕ)ТП =
= det^-1 — ХЕ) = detg-1 det(.E — Ag).
Поскольку detg= detg1" = 1, то окончательно имеем
= A-P(I).
Предложение доказано. ¦
Следующее утверждение описывает основные свойства вещественной симплектической группы.
Предложение 1.3.
1) Группа 5р(2п,М) является некомпактной вещественной группой Ли размерности п(2п + 1).
2) Алгебра JIu sp(2n, М) этой группы состоит из матриц А, удовлетворяющих соотношению АТП + НА = 0. Если базис канонический, m. е. Н = J, то
Р(X) = det(Е - Xg) = det A (jE - g \ = Х2п det ( g- -
Основные понятия
13
где А\ — произвольная вещественная матрица размера пхп, а матрицы А2 и А3 симметричны.
3) С топологической точки зрения симплектическая группа Sp(2n, М) диффео-морфна декартову произведению унитарной группы U(n) на вещественное линейное пространство Rn(n+1).
4) Группа Sp(2n, М) связна.
5) Группа Sp(2n, М) неодносвязна и ее фундаментальная группа изоморфна группе Z.
Доказательство.
1) и 2) Без ограничения общности мы будем проводить все рассуждения в каноническом базисе, т. е. полагать ft = J. Тогда группа Sp(2n, М) может быть представлена как подгруппа в GL(2n, М), задаваемая матричным соотношением gTJg = J, которое может быть рассмотрено как система полиномиальных уравнений второй степени. Другими словами, группа Sp(2n,M) является линейной алгебраической группой и, как все такие группы, является группой Ли [396]. Ее некомпактность следует, например, из того, что матрицы вида diag(A, , А, А-1, ... , А-1) симплектичны для любого A G М.
