Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
9.5. Случай седло-седло..............................................350
9.5.1. Структура особого слоя...................................350
9.5.2. (7/-тип особенности......................................355
9.5.3. Список особенностей типа седло-седло малой сложности . . . 358
9.6. Представление четырехмерной особенности типа седло-седло как
почти прямого произведения двумерных атомов.....................362
9.7. Доказательства теорем 9.3 и 9.4.................................371
9.8. Случай особенности типа фокус-фокус.............................373
9.8.1. Структура особого слоя типа фокус-фокус..................373
9.8.2. Классификация особенностей типа фокус-фокус .............375
9.8.3. Модельный пример особенности типа фокус-фокус и теорема реализации...................................................379
9.8.4. Круговая молекула и группа монодромии особенности типа
фокус-фокус..............................................381
9.9. Представление многомерных невырожденных особенностей слоений Лиувилля в виде почти прямых произведений.................386
Таблицы к главе 9 .................................................. 395
Список литературы....................................................... 416
Предисловие
Цель этой книги — доступно рассказать о новых качественных методах исследования интегрируемых гамильтоновых систем.
Хорошо известно, что многие системы дифференциальных уравнений, возникающие в физике, геометрии и механике и описывающие совершенно различные явления, тем не менее тесно связаны между собой (в некотором смысле похожи).
Изучению таких связей (другими словами, изоморфизмов разного характера) между динамическими системами было посвящено очень много работ, начиная с Мопертюи, Эйлера, Якоби, Минковского. В последние годы этот вопрос (в связи с проблемами интегрируемости) обсуждался в работах С.Смейла, Дж. Марсдена, Ю. Мозера, М. Адлера, П. ван Мербеке, X. Кноррера, Л. Гаврилова, В. В. Козлова, С. П. Новикова, А. П. Веселова, А. И. Бобенко и других.
О каких типах изоморфизмов идет здесь речь? В зависимости от постановки задачи они могут быть весьма разнообразны. В настоящей книге речь будет идти главным образом о следующих трех хорошо известных отношениях эквивалентности среди динамических систем: сопряженность, траекторная эквивалентность (непрерывная и гладкая) и лиувиллева эквивалентность (в случае интегрируемых систем). Напомним, что две гладкие динамические системы и ап называются топологически (гладко) сопряженными, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) ? между многообразиями, на которых заданы эти системы, переводящий динамические системы друг в друга, т. е.
Другими словами, сопряженность означает, что на самом деле рассматриваемые системы совершенно идентичны. Используя несколько иную терминологию, мы можем попросту говорить, что они переходят друг в друга в результате некоторой замены переменных (без замены времени).
Второе отношение эквивалентности — траекторная эквивалентность — несколько слабее. Предполагается, что гомеоморфизм (диффеоморфизм) ? переводит траектории первой системы в траектории второй, не обязательно сохраняя при этом параметр t (время) на этих траекториях. Ясно, что сопряженные системы являются траекторно эквивалентными, но не наоборот. Тем не менее, отношение траекторной эквивалентности является весьма сильным. В частности, все качественные свойства динамических систем (устойчивость, строение предельных множеств, типы замкнутых траекторий и др.) сохраняются при траекторных изоморфизмах.
Третье отношение эквивалентности — лиувиллева эквивалентность — возникает в случае гамильтоновых динамических систем, интегрируемых по Ли-увиллю. Две такие системы считаются лиувиллево эквивалентными, если их фазовые пространства одинаковым образом расслоены на торы Лиувилля.
Вопрос о классификации динамических систем в смысле этих отношений эквивалентности является классическим. Среди известных результатов в этом направлении (в теории классификации динамических систем):
Предисловие
9
а) Локальная теория в окрестности положения равновесия и периодической траектории (А. Пуанкаре, А.Дюлак, Дж. Д. Биркгоф, К. Т. Чень и др., см. обзоры Д. В. Аносова, С. X. Арансона, И. У. Бронштейна, В. 3. Гринеса [4], В. И. Арнольда и Ю. С. Ильяшенко [11]).
б) Из глобальных результатов — классификация потоков Морса-Смейла (Е. А. Леонтович, А.Г. Майер [103], [104], М.М.Пейксото [354], Я.Л.Уманский [205]) и потоков специального типа на двумерных поверхностях (С. X. Арансон, В. 3. Гринес [10]).
в) Исследование топологии интегральных многообразий и слоений Лиувилля интегрируемых систем (С. Смейл [178], А. А. Ошемков [350], [157], М. П. Харламов [219], [220], Т. И.Погосян [163], [164], [165], Я. В. Татаринов [192], [192], Нгуен Тьен Зунг [343], [344], Р. Кушман и Л. Бейтс [264], Р. Кушман и X. Кноррер [265], М. Оден [237], [238]), Л.Гаврилов [301], [302], [303]).
