Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Разумеется, решение задачи классификации для гладких динамических систем произвольного вида в разумных терминах вряд ли возможно. Поэтому естественно ограничиться рассмотрением систем некоторого специального класса, обладающих в чем-то похожими свойствами.
В настоящей книге излагается решение задачи лиувиллевой и траекторной классификации для одного из важнейших классов динамических систем, а именно, для невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
В этой классификации лежит новый подход в качественной теории интегрируемых гамильтоновых систем, предложенный А. Т.Фоменко [206], [208], [286], и построенная затем совместно с X. Цишангом, С. В. Матвеевым, А. В. Болсиновым и А. В. Браиловым теория топологической классификации таких систем [215], [216], [30], [33], [48], [24], [25], [28].
А. Т. Фоменко предложил сопоставлять каждой интегрируемой гамильтоновой системе в качестве топологического инварианта некоторый граф W, названный им молекулой системы. С помощью этого инварианта удалось полностью описать структуру расслоения изоэнергетической поверхности системы на инвариантные торы Лиувилля и тем самым классифицировать системы в смысле луивиллевой эквивалентности. Оказалось, что для этого необходимо снабдить граф некоторым набором числовых меток. В качестве окончательного инварианта была предложена так называемая меченая молекула системы W* (инвариант Фоменко-Цишанга).
Эту молекулу W* естественным образом можно рассматривать как некоторый портрет интегрируемой гамильтоновой системы, содержащий в себе очень много полезной информации о ней. В случае траекторной классификации приходится решать более деликатную проблему. А именно, нужно научиться полностью описывать слоение изоэнергетической поверхности системы на траектории (а не только на лиувиллевские торы) и классифицировать интегрируемые системы с точностью до траекторной эквивалентности. Ясно, что для этого мы должны сделать портрет системы более подробным, дополнив его (т. е. меченую молекулу) новыми деталями (т. е. траекторными инвариантами). Другими словами, задача состоит в том, чтобы найти и описать полный набор дополнительных
10
Предисловие
траекторных инвариантов (в непрерывном и гладком случаях). Эта задача была решена авторами, и этому посвящена одна из частей настоящей книги.
В настоящее время исследования по топологии интегрируемых систем активно развиваются как в России, так и за рубежом. В частности, были описаны топологические портреты и дана лиувиллева и траекторная классификация многих конкретных физических и механических интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Укажем здесь на работы Е. В. Аношкиной, В. В. Калашникова (мл.), Б. С. Кругликова, В. С. Матвеева, Т. 3. Нгуена, О. Е. Орел, А. А. Ошемкова, JI. С. Поляковой, Е. Н. Селивановой, П. Топалова, В. В. Трофимова, П. Рихтера, X. Дуллина, А.Виттека, JI. Гаврилова, М. Оден.
Настоящая книга является введением в проблему классификации интегрируемых систем. Ее отличительной особенностью является систематичность изложения большого материала, доступного ранее лишь в виде журнальных статей. Мы стремились рассказать обо всех этих исследованиях максимально просто и доступно, рассчитывая в том числе и на студентов математиков, физиков и механиков. В первом томе мы излагаем основы теории и связанные с ней общие вопросы топологии интегрируемых систем.
Второй том знакомит читателя с многочисленными приложениями построенной теории в физике, механике и геометрии. Мы обсуждаем здесь общие топологические и геометрические методы анализа конкретных динамических систем, не касаясь, в частности, алгебро-геометрического подхода, служащего мощным средством исследования качественных свойств алгебраически интегрируемых систем, их лиувиллевых слоений и т.п. Это отдельная разветвленная тематика, с которой читатель может познакомиться по недавно вышедшей книге М. Оден [237]. Мы же сконцентрировали внимание на методах более общего характера, эффективно работающих как в алгебро-геометрических случаях интегрируемости, так и в случаях, когда никакой алгебраичности нет. Во втором томе нашей книге мы особо подробно рассмотрели два класса интегрируемых систем. Это — интегрируемые случаи в динамике твердого тела и интегрируемые геодезические потоки римановых метрик на двумерных поверхностях.
Безусловно, в книге отражены далеко не все приложения теории топологических инвариантов интегрируемых систем. Более того, это направление продолжает активно развиваться. Например, в самое последнее время интересные результаты получены Ю. А. Браиловым, Н. В. Коровиной, Е. А. Кудрявцевой,
В. В. Корнеевым, В. О. Мантуровым, Е. Я. Татариновой.
В заключение мы выражаем глубокую благодарность за многочисленные научные обсуждения В. В. Козлову, С. В. Матвееву, X. Цишангу, В. В. Шарко, И. К. Бабенко, Я. В. Татаринову, И. А. Тайманову, А. М. Степину, Ю. Н. Федорову,
Н. Н. Нехорошеву, Дж. Марсдену, JI. Гаврилову, П. Рихтеру, X. Дуллину, А. Витте-ку. А также — нашим ученикам, постоянный контакт с которыми был для нас очень важен.
