Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
-{- ф -}-Е (2im-j- ф)). (30.21)
Введем для сокращения следующее обозначение:
- $ + Е(9) + ф(^-$, *0, 9+ Е(9)) =/($, ?)•
Тогда, полагая в (30.21)
% = 2™ г-^-пТ ,
390 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
получим:
Ц1) = 2ъ^-‘о) + ф + / (2™ , 2-кт + ф^), (30.22)
так как
2т 1—~^ = 6 + 2%т.
Заметим, кстати, что введенная функция /(?, 9) непрерывна и обладает по отношению к 9 периодом 2и, так как Е (9) и &(^,t0,60) — периодические по 9 и 0О с периодом 2ъ.
Далее, так как соотношение (30.22) справедливо при любом п, то можем написать следующее тождество:
/ ^2-TCV --— 2т, 2тCVft-f- ф + 2tcv J =
= /(2uv^LZ^( 2™п+ф). (30.23)
Величина t здесь также произвольна. Введем вместо t новую независимую переменную и по формуле
Т
t — tn — пТ = —— и.
0 2т
Тогда тождество (30.23), очевидно, можно представить в виде
/ (и — 2 от, 2тп-\- ф + 2т) = / (и, 2тп-\- ф). (30.24)
Поскольку числа 2тгт образуют на окружности всюду плотное множество, то в силу непрерывности из (30.24) можно заключить, что для любых 9 будет выполняться соотношение
/ (и — 2т, 9 + 2т) = / (и, 9). (30.25)
Заметив это, построим функцию
fi^2mR ( — , 9-2itvfl (?})=7(и, ?), (30.26)
где (а) — дробная часть вещественного числа а. Так как R
является периодической функцией и с периодом 2 тс и притом непрерывна, кроме точек и = 2ът (те— целое), где она терпит разрыв, равный единице, то построенная функция / (и, 9) будет периодической функцией по отношению к 9 и и, обладающей периодом 2тг и, кроме того, непрерывной, так как ввиду тождества (30.25) свойство непрерывности сохраняется
также в точках разрыва функции R ^ ^ J .
Положим теперь в правой части формулы (30.22): л -Д
Тогда формулу (30.22), учитывая соотношение (30.26), можно представить в виде:
вф = 2™^ + ф+/(2т:*-=^,2™*-=*!+ф) . (30.27)
i 30] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 391
Подставляя это выражение в (29.20)
* = /(«,0(0), (30.28)
убеждаемся, что решения рассматриваемого основного уравнения
лежащие на интегральном многообразии St, имеют в рассматриваемом случае иррационального v следующий вид:
ж(0 = Ф(<М, V+Ф) (ае = -^-> ар = ^> Ф = const J, (30.29)
где Ф (9, &) — непрерывная функция угловых переменных ф и & с периодом 2ш.
Итак, рассматриваемые решения уравнения (29.16), лежащие на многообразии St, оказываются квазипериодическими функциями
- 2гс
и обладают двумя основными частотами — «внешней» частотой ае = ~^г
_ „ 2rcv
и «собственной» частотой ар = -у-.
Заметим еще, что согласно (30.27) имеем:
limlM = ^
J.1AU. гр у
t-> оэ 1 1
и поэтому благодаря неравенству (29.22) и уравнению (30.8) получим:
| ар — Q (s) |< so* (е). (30.30)
Таким образом, в случае иррационального v Q (s) является асимптоти-
- 2п\
ческим приближением для собственной частоты ар = .
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда число v рациональное:
г
V = T’
где г и s — взаимно простые числа.
Тогда ввиду приведенного выше результата Пуанкаре — Данжуа на интегральном многообразии St имеются периодические решения уравнения (30.8) с периодом sT, причем любое решение, принадлежащее St, приближается к одному из этих периодических решений с периодом sT при Z—со.
Заметим, между прочим, что, поскольку здесь у периодических
- 2тс
решении частоты будут кратными , мы можем представить их линеи-ными комбинациями частот
2тс 2тс 2л /оаол\
<*е = -у- ; ар = —r=-yrv. (30.31)
Таким образом, и в данном случае рационального значания числа v стационарные решения уравнения (29.16) (периодические решения,
392 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
лежащие на многообразии St) можно формально представить как функции, обладающие основными частотами ае и ар.
Перейдем теперь к рассмотрению решений, не лежащих на многообразии St, ограничиваясь при этом тем случаем, когда все п— 1 характеристических показателей имеют отрицательные вещественные-части.
В этом случае покажем, что любое решение основного уравнения (29.16), проходящее при t = t0 через какую-либо точку области U, у приближается при t—> со к одному из стационарных решений, т. е. к квазипериодическому решению в случае иррационального v или к периодическому в случае рационального v.
Для этого, как видно из неравенств (29.25), (29.26),
I * (0 - / (*, 6 (ОЖ Сг (в) е-т У*)_ьР(«,0(«))|<С'8(.)в-^(‘-Ч
достаточно доказать, что если какая-либо непрерывная и дифференцируемая функция б (t) в интервале (t0, оо) удовлетворяет неравенству (29.26), то
0(f)-?(«)»-> О, (30.32)
t-+ СО
где f(t) является решением уравнения
^• = ^(«,9). (30.33)
В свою очередь для доказательства этого утверждения достаточно доказать, что для любой последовательности 0П, для которой
I бп-1 - F (бп) |< Q (.) e-топ, Yo = lT, (30.34)
будет иметь место соотношение
0»-?»->О, (30.35)
n-vco
где <рп удовлетворяет итерационному уравнению
?п+1 = Р (?»)• (30.36)
Итак, для завершения доказательства нашего утверждения о стремлении любого решения основного уравнения (29.16), проходящего при t = t0 через какую-либо точку области U , к одному из стационарных решений остается рассмотреть последовательность 0П, удовлетворяющую неравенству (30.34), и установить для нее справедливость предельного соотношения (30.35).
