Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В (0, ф, а) = ——/ (0, а cos ф, — асо sin ср) cos ф .
Правые части этих уравнений являются, как видно, квазипериоди-ческими функциями t с двумя основными частотами —со и v.
Если отношение этих частот иррационально, имеем:
Т 27С 27С
Иш С А (п, Ы + ср, a) dt - ^ А (9, ф, а) db йф = ^ (а) ,
Т-*°о X г! -п’
) (30.95)
0 0 0 ^
Т 27с 2те
Нш -^г ^ В (vt, mt + ср, а) ^ ^ 5 (0, ф, а) с?0 йф = (а).
т-“ 'о 8 »
J
Заметим, что эти равенства могут выполняться не только при ирра-
Ш
циональном значении отношения — .
Возьмем, например, случай, рассматривавшийся в главе III, когда / (v^, х, х') представляется конечной суммой вида
N
2 einv(/n (ж.х’).
—N
в которой /п(ж, ж') —полиномы по отношению к х, х'.
Как легко видеть, в этом случае можно указать конечную совокупность рациональных чисел таким образом, что если не равно одному из чисел этой совокупности, то равенства (30.95) выполняются. Пусть так или иначе справедливость этих равенств обеспечена.
406
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
[Гл. VI
Тогда уравнения (30.93) оказываются уравнениями первого приближения (усредненными уравнениями) для системы (30.94).
Предположим, что уравнение
Аг (а) = 0
имеет нетривиальное решение:
а = Uq Ф 0 ,
для которого
А' (а) Ф 0 .
Предположим также, что функция / (0, х, х’) обладает непрерывными частными производными по х, х’ до второго порядка включительно в некоторой окрестности эллипса
В таком случае, как видно, выполнены условия теоремы II и теоремы III (условие) б)).
Следовательно, можем утверждать, что для достаточно малых значений г уравнение (13.1) действительно имеет стационарные решения с амплитудой, близкой к а0, которые как функции t обладают двумя основными частотами —собственной и вынужденной.
При
а; (а0) > о
семейство стационарных решений обладает свойством отталкивания, а при
Ai К) < 0
— свойством притяжения близких решений.
Интересно отметить, что наложенные условия, обеспечивающие возможность применения теорем II, III, являются настолько общими, что при их выполнении даже ряд (13.46), входящий в улучшенное перво» приближение, может оказаться расходящимся*).
Мы рассмотрели вопросы об установлении свойств точных решений по свойствам решений уравнений первого приближения.
В ряде случаев, однако, может представить интерес использование для этой цели уравнений более высокого приближения.
Так, например, вещественные части характеристических показателей могут обратиться в нуль для уравнений первого приближения.
Может также возникнуть вопрос о теоретической оценке погрешности для асимптотического приближения высшего порядка.
Для таких случаев нетрудно обобщить методику изложенную в § 29,. например, с помощью использования выражений улучшенного т-то приближения как формул замены переменных. Тогда придем к системе типа (27.105), в которой «дополнительные члены» Р, Q будут уже величинами порядка малости гт+1, что, разумеется, соответственно повышает порядок полученных оценок.
Естественно, что такое рассмотрение требует наложения более жестких условий на характер регулярности функций, входящих в исследуемые дифференциальные уравнения.
*) Из-за наличия «малых делителей» вида ю2—(па-\-тш)2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андропов А. А., Собрание трудов, Изд. АНСССР, 1956.
2. А н д р о н о в А. А. и Хай кин С. Э., Теория колебаний, ОНТИ, 1937.
3. А с е е в Б. П., Основы нелинейной радиотехники, М., 1943.
4. Ван-дер-Поль Б., Нелинейная теория электрических колебаний, Связь-издат, 1935.
5. Б е р г А. И., Теория и расчет ламповых генераторов, Госэнергоиздат, 1932.
6. Боголюбов Н. Н., Колебания, Механика в СССР за 30 лет, Гостехиздат, 1950.
7. Боголюбов Н. Н., О некоторых статистических методах в математической физике, Изд. АН УССР, 1945.
8. Боголюбов М. М., Сшхрошзащя реляксацшних коливань, HayKOBi записки Кшвського Держушверситету 9, вип. IX, Математичний зб!рник № 6 (1950).
9. Боголюбов Н. Н., Теория возмущений в нелинейной механике, Сборник трудов Института строительной механики АН УССР № 14 (1950).
10. Б о г о л ю б о'в Н. II. и Зубарев Д. Н., Метод асимптотического приближения для систем с вращающейся фазой и его применение к движению заряженных частиц в магнитном поле, УМЖ, VII (1955).
11. Булгаков Б. В., Колебания, Гостехиздат, М., 1954.
12. 1-я Всесоюзная конференция по колебаниям (доклады, резолюции и материалы конференции), ГТТИ, 1933.
13. Д е н-Г а р т о г, Теория колебаний, Гостехиздат, 1942.
14. Duffing G., Erzwungene Schwingungen bei veranderlicher Eigenfrequenz, Braunschweig, 1918.
15. Дородницын А. А., Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля, Прикладная математика и механика, XI (1947).
16. Журнал технической физики, том IV, вып. I (1934) (весь выпуск посвящен вопросам нелинейной радиотехники).
17. К р и л о в М. М. и Боголюбов М. М., Про деяю формалып розклади нелшШно! механши, Изд. АН УРСР, 1934.
18. Крылов Н. М. и Боголюбов Н. Н., Новые методы нелинейной механики в их применении к изучению работы электронных генераторов, ч. I, ОНТИ, 1934.
19. Крылов Н. М. и Боголюбов Н. II., Символические методы нелинейной механики в их приложении к исследованию резонанса в электронном генераторе, Изд., АН УССР, 1934.
