Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Открытое множество U в пространстве-времени (М, g) называется причинно выпуклым, если ли какая непространстгеннопо-добная кривая не пересекает U по несвязному множеству. Пространство-время (M, g) называют сильно причинным в данной точке р t Al, если у р есть сколь угодно малые причинно выпуклые окрестности. Таким образом, точка р обладает такими произвольно малыми окрестностями, для которых никакая непростран-ственноподобная кривая, покидающая одну из этих окрестностей*, никогда в нее не возвращается. Пространство-время (М, g) называется сильно причинным, если оно сильно причинно в каждой/ точке. Можно показать, что множество точек произвольного пространства-времени (Af, g), в которых (Al, g) сильно причинно, является открытым подмножеством M (см. Пенроуз (1972, с. 30)). Нетрудно показать, что сильно причинные пространства являются v различающими. 32
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
Сильно причинные пространства можно охарактеризовать в терминах топологии Александрова для многообразия М. Топология Александрова на произвольном пространстве-времени (ЛЇ, g) —• это топология, которая задается на M путем выбора в качестве базиса топологии совокупности всех множеств вида I+ (р) П D I" (q), где р, q G M (ср. с рис. 1.2). Исходная топология многообразия M является по меньшей мере столь же тонкой, как и топология Александрова, ввиду того, что в заданной топологии множество I+ (р) П (q) по лемме 2.5 всегда открыто. Между исходной топологией многообразия и топологией Александрова имеется следующая связь (см. Пенроуз (1972, с. 34)).
Предложение 2.7. Топология Александрова для многообразия (M, g) совпадает с исходной топологией многообразия в том и только том случае, когда (M, g) сильно причинно.
Доказательство. Допустим сначала, что (М, g) сильно причинно. Тогда у каждой точки р ? M найдется выпуклая нормальная окрестность U (р), такая, что никакая непространственно-подобная кривая не пересекает U (р) более одного раза. Множество U (р) является выпуклой нормальной окрестностью каждой своей точки, и вследствие предложения 2.4 хронологическое будущее (соответственно прошлое) любой точки q ? U (р) состоит в (U (р), g I U (р)) из всех точек, которых можно достичь в U геодезическими сегментами вида ехр9 (tv), О < / < 1, где v — направленный в будущее (соответственно в прошлое) времениподобный вектор в точке q. Это приводит к тому, что топология Александрова на (U (р), g I U (р)) совпадает с исходной топологией многообразия на U (р). Используя тот факт, что никакая непространст-венноподобная кривая на (М, g) не пересекает U (р) более одного раза, получаем, что топология Александрова совпадает с исходной топологией многообразия.
Предположим теперь, что сильная причинность нарушается в точке р ? М. Тогда существует выпуклая нормальная окрестность V (р) точки р, такая, что если W (р) — произвольная окрестность точки р, подчиненная условию W (р) а V (р), то для нее найдется непространственноподобная кривая, которая начинается в W (р), покидает V (р) и затем возвращается в W (р). Отсюда вытекает, что все окрестности точки р в топологии Александрова содержат точки, лежащие вне V (р). Таким образом, топология Александрова отличается от исходной топологии многообразия. ?
Для изучения нарушений причинности и геодезической неполноты в общей теории относительности полезно сформулировать » понятие непродолжаемости для нелр.остранственноподобных кривых. Это можно сделать следующим образом. Пусть 7: [а, Ь) -*¦ 2.2. Теория причинности пространства-времени
33
Z= О -
Рис. 2.2. Причинное пространство-время (М, g), которое имеет непродолжаемые захваченные непространственноподобные кривые. Пусть а — иррациональное число, a M = R X S1 X S1 = {(/, у, г) ? R3; (/, у, ~z)~(t,y,z + 1) и (/, у, г) — ('.</+ 1,2 + а)}- Лоренцева метрика задается следующим образом: ds2 = = (ch t — I)2 (d//2 — dt2) — dt dy+ dz2.
-+-M— кривая на многообразии М. Точка р ? M называется концевой точкой кривой у, соответствующей значению параметра t — b, если
lim у (t) = p.
t-<¦!>-
Если у. \а, b) -> M — направленная в будущее (соответственно в прошлое) непространственноподобная кривая с концевой точкой ' р, соответствующей t — Ь, то р называется концевой течкойв будущем (соответственно в прошлом) кривой у. Непространственноподобная кривая называется непродолжаемой в будущее (соответственно в прошлое), если у нее нет КОНЦЄЕОЙ точки в будущем (соответственно в прошлом).
Соглашение 2.8. Непространственногодобная кривая у: (a, b) -+- M называется непродолжаемой, ecJ'H она непродолжаема ни в прошлое, ни в будущее.
Существуют причинные пространства, которые содержат непродолжаемые непространственноподобные кривые, имеющие компактное замыкание. На рис. 2.2 приведен пример такого пространства-времени, построенный Картером (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 217)). Непродолжаемая непространственноподобная кривая, которая имеет компактное замыкание и, следовательно, содержится в компактном множестве, называется захваченной этим множеством. Тем самым пример Картера показывает, что в причинных пространствах может встречаться явление захвата.
