Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 13

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 167 >> Следующая


Гладкая кривая на многообразии (М, g) называется времени-подобной (соответственно непространственноподобной, изотропной пространственноподобной), если в каждой точке этой кривой ее касательный вектор является времениподобным (соответственно непространственноподобным, изотропным, пространственнопо-добным). Как и в римановом случае, геодезической называется гладкая кривая с: (а, Ь) касательный вектор которой пере-

носится вдоль этой кривой параллельно, т. е. Vc с' (t) = О для любого t (і (а, Ь). Касательное векторное поле с' (t) геодезической с в силу соотношения

4г (g (<-•' (0. С т = 2g (Vc- Ц)С' (t), с (0) - о

удовлетворяет условию g (с' (t), с' (t)) = const для всех t ? (а, Ь). Следовательно, если геодезическая времениподобна (соответственно изотропна, пространственноподобна) для некоторого значения своего параметра t, то она является времениподобной (соответственно изотропной, пространственноподобной) для всех значений параметра t.

А ффинным параметром t для геодезической с называется любой параметр для с, такой, что равенство Vcc' (t) = 0 выполняется для всех его значений. Для времениподобных и простран-ственноподобных геодезических аффинный параметр соответствует такой параметризации геодезической, относительно которой геодезическая имеет постоянную скорость. Для изотропных геодезических аффинные параметризации имеют теснейшую аналогию с естественной параметризацией неизотропных геодезических длиной дуги.

Экспоненциальное отображение ехрр: TpM -v M определяется для лоренцевых многообразий в точности так же, как и для римановых многообразий. Пусть v ? TpM. Обозначим через Cv (і) однозначно'определенную геодезическую на М, у которой Cv (0) = = />> Со (0) = v. Тогда экспоненциальное отображение ехрр (и) вектора V задается формулой ехрр(и) = cv (1) (при условии чтос„ (1) определена). 28

Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность

Пусть V1..... Vn —¦ произвольный базис TpM. Для достаточно

малых (хъ ..., хп) ?- Rn отображение

X1V1 jT ¦¦¦ jT XnVn expp (X1V1 + ¦ ¦ - + XnVn)

является диффеоморфизмом окрестности начальной точки из TpM на окрестность U (р) точки р из М. Так, введенные координаты (X1, ..., хп) точки expp (X1D1 + ...+ xnvn) в U (р) определяют координатную карту на M и называются нормальными координатами в окрестности U (р) базовой точки р. Множество U (р) называют (простой) выпуклой окрестностью точки р, если любые две точки из U (р) можно соединить единственным геодезическим сегментом в (М, g), целиком лежащим в U (р). Уайтхед (1932) показал, что у каждой точки произвольного псевдориманова (значит, и лоренцева) многообразия существует выпуклая окрестность (см. Хикс (1965, с. 133—136)). На самом деле можно даже считать, что для каждой точки q G U (р) существует нормальная координатная карта с базой q, содержащая U (р). Назовем такую окрестность U (р) выпуклой нормальной окрестностью (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 44)).

Доказательство следующего предложения, существенно используемого для изучения локального поведения причинности, приведено в книге Хокинга и Эллиса (1977, с. 117—119).

Предложение 2.4. Пусть U — выпуклая нормальная окрестность точки q. Тогда те точки из U, которых можно достичь из q по времениподобным (соответственно непространственно-подобным) кривым, содержащимся в U, можно представить в виде ехр9 (v),v Q TqM, где g(v, v) < 0 (соответственно g (v, v) < 0).

2.2 Теория причинности пространства-времени

В пространстве-времени (М, g) (нигде не вырождающееся) непространственноподобное векторное поле вдоль кривой не может путем непрерывного изменения перейти из поля, направленного в будущее, в поле, направленное в прошлое. Это вытекает из того, что гладкая времениподобная, изотропная или непро-странственноподобная кривая в (М, g) либо всегда направлена в будущее, либо всегда направлена в прошлое.

Мы будем пользоваться следующими общепринятыми обозначениями: р q, если существует гладкая направленная в будущее времениподобная кривая, идущая из точки р в точку q, и р < q, если либо р = q, либо существует гладкая направленная в будущее непространственноподобная кривая, идущая из р в q.

Непрерывная кривая у. (а, Ь) M называется направленной в будущее непространственноподобной кривой, если для любого t0 ? (a, b) существуют є >0 и выпуклая нормальная окрестность и (у (to)) точки у (Z0), такие, что у (t0 — є, tQ + є) er U (у (ta)) и 2.2. Теория причинности пространства-времени

29

ДЛЯ любых Z1 И t2, удовлетворяющих условию t0 — Є < ti < t2 <Z <t0 + e, найдется гладкая направленная в будущее непростран-ственноподобная кривая в (U (у (t0)), gl U (y (t0))), идущая из у (ti) в у (t2). Выпуклую нормальную окрестность U (у (t0)) в этом определении необходимо взять по следующей причине. Существуют пространства, у которых р <<l q для всех (р, q) ? M X М. Однако в этих пространствах любая непрерывная кривая у удовлетворяет одновременно и условию у (Z1) <<( у (/2), и условию У (tz) У (ti) Для всех tx, t2 из области задания 7.

Хронологическим будущим I+ (р) точки р называется множество I+ (P) = І? с M:/) « ?!, а хронологичесіаїм прошлым —множество Г (р) = \q ? М\ q <ч р\. Причинное будущее точки р — это J+ (Р) ~ W О М: р <sz q\, а причинное прошлое J~~ (р) = \q ? M: q < Р\-
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed