Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, мы подошли к рассмотрению того, что можно сказать о лоренцевых аналогах остальных утверждений теоремы Хопфа— Ринова. Здесь, однако, каждая мыслимая ситуация оказывается ¦«евозможной. Таким образом, множество трудностей в лоренцевой геометрии (с точки зрения глобальной римановой геометрии) или разнообразие ее ситуаций (с точки зрения теории сингулярностей) проистекает из-за отсутствия достаточно сильного аналога теоремы Хопфа—Ринова.
Приведем теперь основное определение, которое интересно сопоставить со свойством (Б) теоремы Хопфа—Ринова.
Определение., Пространство-время (M, g) называется времени-подобно (соответственно изотропно, пространственноподобно, непространственноподобно) полным, если все времениподобные (соответственно изотропные, пространственноподобные, непространственноподобные) геодезические можно определить для любых значений аффинного параметра і (— оо -< / -< + оо).
Таким образом, пространство-время, которое не является не-пространственноподобно полным, содержит времениподобную или изотропную геодезическую, которую нельзя определить для всех значений аффинного параметра. Такие пространственно-временные многообразия в общей теории относительности называют сингулярными.
Важно отметить прежде всего, что из наличия глобальной ги-перболичности не следует ни одна из этих форм геодезической полноты. В этом можно убедиться следующим образом: зафиксируем в пространстве Минковского две точки р и q, связанные отношением p^q, и рассмотрим M = I+ (р) f| (q) вместе с лоренцевой метрикой, которую оно получает как открытое подмноже-20
Гл. 1. Введение
ство пространства Минковского. Это пространство-время M является глобально гиперболическим. Однако из того, что геодезические в M — это в точности ограничения геодезических пространства Минковского, вытекает, что каждая геодезическая в M неполна!
Когда-то полагали, что времениподобная полнота может просто повлечь за собой изотропную полноту и т. п. Однако Кундт, Герок и Бим предложили серии примеров глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, для которых времениподобная геодезическая полнота, изотропная геодезическая полнота и пространственноподобная геодезическая полнота логически не эквивалентны. Таким образом, существуют глобально гиперболические пространства, которые являются простран-ственноподобно и времениподобно геодезически полными, однако изотропно неполны!
Метрическая и геодезическая полнота ((А) (Б) в теореме Хопфа—Ринова) для произвольных лоренцевых многообразий никак не связаны. Существуют также лоренцевы метрики, которые времениподобно геодезически полны, но содержат точки р и q, р С такие, что нет ни одной времениподобной геодезической, идущей из р в q (см. рис. 5.1).
Но если смотреть на вещи оптимистически, то можно заметить для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий существование определенной сгязи со свойствами (А) и (Г) теоремы Хепфа—Ринова. Вследстгие того что d (р, q) = О при q ф J+ (р), сходимость произвольных последовательностей в (М, g) относительно лоренцегсй функции расстояния не имеет смысла. В то же время времениподобная полнота Kcши может быть определена (см. разд. 5.3). Для глобально гиперболических пространств можно показать, что Еремеиипсдсбная полнота Коши и конечная компактность равносильны.
Добавим, что получены некоторые результаты, аналогичные упомянутой выше теореме Номидзу—Одзеки для риманоЕых многообразий. Например, для любого заданного сильно причинного пространства-времени (М, g) существует конформный множитель Q: M ->- (0, оо), такой, что пространство-время (М, Qg) времениподобно и изотропно геодезически полно (см. теорему 5.5). Пока неизвестно, однако, мсжно ли усилить этот результат, включив сюда и пространственноподобную геодезическую полноту.
Теперь должно быть понятным, что наряду со сходством между лоренцевой и римановой функциями расстояния, особенно для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, существуют также и поразительные различия. Однако, несмотря на эти различия, лоренцева функция расстояния имеет много полезных применений, подобных тем, которыми обладает риманова функция расстояния.Римановы мотивы в лоренцевой геометрии
21І
В гл. 7 лоренцева функция расстояния используется при построении максимальных непространственноподобных геодезических. Эти максимальные геодезические играют ключевую роль в доказательстве теорем о сингулярностях (см. гл. 11). В гл. 8 лоренцева функция расстояния применяется для определения и изучения лоренцева множества раздела.
В гл. 9 развивается теория Морса об индексе для временипо-добных и для изотропных геодезических. Ряд глобальных результатов для лоренцевых многообразий с использованием теории Морса и лоренцевой функции расстояния получен в гл. 10.Глава й
ЛОРЕНЦЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ И ПРИЧИННОСТЬ
В разд. 2.1 и 2.2 дается краткий обзор элементарной теории причинности, являющейся основой не только для этой монографии, но и для общей теории относительности вообще. Далее, в разд. 2.3 исследуется важная связь между топологией предельной кривой и С°-топологией для последовательностей непростран-ственноподобных кривых в сильно причинных пространствах. Именно если у: la, b ] —>- M — направленная в будущее непро-странственноподобная кривая, предельная для последовательности направленных в будущее непространственноподобных кривых, то существует подпоследовательность, сходящаяся к у в С°-топологии. Этот результат полезен при построении максимальных геодезических в сильно причинных пространствах при помощи лоренцевой функции расстояния (см. гл. 7 и гл. 11, разд. 4).