Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что отношения и с транзитивны. Более того, из соотношений р q и а < г вытекает, что р ^r, а из р < q и q <<( г что р г (см. Пенроуз (1972, с. 14)). Если существует направленная в будущее времениподобная кривая, идущая из р в q, то существует и окрестность U точки q, такая, что любой точки из U можно достичь направленной в будущее времениподобной кривой. Отсюда вытекает справедливость следующего утверждения.
Лемма 2.5. Пусть р — произвольная точка пространства-времени (M, g). Тогда множества I+ (р) и Г (р) открыты, в М.
В гл. 1 был приведен пример (рис. 1.1), показывающий, что в общем случае множества J+ (р), J' (р) ни открыты, ни замкнуты.
Может оказаться так, что р ? I+ (р). В этом случае существует замкнутая времениподобная кривая, проходящая через р, и пространство-время называют имеющим нарушение причинности. Например, на цилиндре M = S1 X R с лоренцевой метрикой ds2 = —??02 + dt2 окружности t — const являются замкнутыми времени подобными кривыми. В этом пространстве-времени I+ (р) = M для всех р ? М. Именно из-за проблем, тесно связанных с примерами нарушения причинности, в последние годы в общей теории относительности было дано большое число различных формулировок условий причинности.
Пространство-время, которое не содержит ни одной замкнутой времениподобной кривой (т. е. р ф I+ (р) для всех р ? М) называют хронологическим. Пространство-время с незамкнутыми не-пространственноподобньши кривыми называется причинным. Этому эквивалентно следующее свойство: причинное пространстго-время не содержит ни одной пары различных точек р и q, связанных соотношением р < q < р. Цилиндр M —- S1 у R с лоренцевой метрикой ds2 = dQ dt представляет собой пример хронологического пространства-времени, которое не является причинным. Единственные замкнутые непространственноподобные кривые 34
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
в этом примере —¦ это окружности t = const, которые подходящей параметризацией можно превратить в изотропные геодезические.
Условие хронологичности является слабейшим из условий причинности, которые будут введены. Следующее ниже предложение гарантирует, что никакое компактное пространство-время не может быть ни причинным, ни хронологическим.
Предложение 2.6. Любое компактное пространство-время (М, g) содержит замкнутую времениподобную кривую и поэтому не может быть хронологическим.
Доказательство. Вследствие того что множества вида I+ (р) открыты, нетрудно заметить, что семейство {I+ (р): р Q М\ образует открытое покрытие М. В силу компактности Al из него можно выбрать конечное подпокрытие {I+(P1), ..., I+(рп)\. Пусть теперь P1 G /+ (pi (о) для некоторого і (і), 1 < і (1) < k. Подобным же образом pi (і) (z I+ (Pt (2)) для некоторого і (2), 1 і (2) <
< k. Рассуждая аналогично, получим бесконечную последовательность ... Pi (3) <с Pi (2) 5C Pi (1) <<Pi- Ввиду того Что 1 <i(m) с
< k, существует лишь конечное число различных индексов і (т). Тем самым в полученном списке есть повторения. Из транзитивности отношения <<Г вытекает, что pi <„> ? I+ (pi <„>) для некоторого индекса і(п). Таким образом, (М, g) содержит замкнутую Времениподобную Кривую, Проходящую через точку Pi(n). ?
Недавно Типлер доказал, что некоторые классы компактных пространств содержат замкнутые времениподобные геодезические, но не содержат других замкнутых времениподобных кривых. Ввиду того что в доказательстве этого факта существенно используется лоренцева функция расстояния, рассмотрение результата Типлера откладывается до разд. 3.1 (теорема 3.15).
Пространство-время называется различающим, если для любых точек р, q ? M либо из равенства I+ (р) = I+ (q), либо из равенства I" (р) = Г (q) следует, что р =q. В различающем пространстве-времени разные точки различаются и своим хронологическим будущим, и своим хронологическим прошлым. Поэтому точки можно выделять и по хронологическому будущему, и по хронологическому прошлому.
Различающее пространство-время называется причинно непрерывным, если множествозначные функции I+ и 1~ внешне непрерывны (см. Хокинг и Сакс (1974, с. 291)). Ввиду того что I+ и 1~ всегда внутренне непрерывны, причинно непрерывными пространствами являются такие различающие пространства, для которых и хронологическое будущее, и хронологическое прошлое точки непрерывно изменяются вместе с точкой. Множествозначная функция I+ называется здесь внутренне непрерывной в точке р ? ? M, если для каждого компактного множества K^I+ (р) существует окрестность U (р) точки р, так&я, что с /+ (q) для 2.2. Теория причинности пространства-времени
31
Рис. 2.1. Пространство-время, которое не является причинно непрерывным. Отображение р —>--»- (р) не может быть внешне непрерывным в точке q. Компактное множество К содержится в M \ (q), однако каждая окрестность U (q) точки q вмещает некоторую точку г, такую, что К не содержится в M \
\ TrVh
всех q С U (р). Множествозначная функция I+ называется внешне непрерывной в точке р f М, если для каждого компактного множества К er M \7+ (р) существует окрестность U (р) точки р, такая, что К M \I+ (q) для всех q ? U (р). Внутреннюю и внешнюю непрерывность для I" можно определить аналогично. На рис. 2.1 приведен пример пространства-времени, для которого множествозначная функция не является внешне непрерывной. Понятие причинной непрерывности было введено Хокингом и Саксом (1974). Для этих пространств причинная структура может быть продолжена до причинной границы (см. Бьюдик и Сакс (1974)). Более того, на причинном пополнении причинно непрерывного пространства-времени может быть определена метризуемая топология (см. Бим (1977)).
