Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
обозначать через [у]. Рассмотрим множество M всевозможных классов эквивалентности для кусочно-гладких кривых Y-' [0, 1 ] -v
-v М, у (0) = р0, и определим отображение я: M -v M при помощи соотношения я ([y]) = Y О)- Если (М, g) ориентируемо
во времени, то M = M. В противном случае я: M -v M представляет собой двулистное накрытие (см. Маркус (1955, с. 412)). 2.1. Лоренцевы многообразия
25
Допустим, теперь, что лоренцево многообразие (М, g) не является ориентируемым во времени. На множестве M стандартным образом (используя методы теории накрывающих пространств) вводится топология и задается дифференцируемая структура так,
что я: M M становится двулистным накрывающим многообразием. Лоренцеву метрику g на M определим посредством формулы g = я*g, т. е. g (V, ш) = g (я^и, я^ш). Тогда отображение я: (М, g) ->- (M, g) является локальной изометрией.
Для того чтобы показать, что многообразие (M, g) допускает временную ориентацию, полезно доказать предварительно вспомогательную лемму. Зафиксируем на M базовую точку р0 ? я-1(/?0). Пусть U0 ? Tp0M — единственный времениподобный касательный вектор, удовлетворяющий условию Я^о V0.
Лемма 2.2.. Пусть q ? M — произвольная точка и Y1, у2: [О, 1] -+M — две кусочно-гладкие кривые, соединяющие р0 и д:
Yi (0) = V2 (0) = Po и Ti (1) =72 (1) -"= Ц- Если V1 и V2 — векторные поля, параллельные вдоль Yi и Y2 соответственно и удовлетворяющие условию V1 (0) = V2 (0) = D0, то g (V1 (1), V2 (1)) < 0.
Доказательство. Положим Yi = яоух и Y2 = л>у2. В силу того что я: (М, g) —>- [М, g) — локальная изометрия, векторные поля ^i = я* (^i) и V2 = я* (V2) параллельны соответственно вдоль Yx и у2, причем V1 (0) = V2 (0) = = v0. Кроме того, g(Vx (1), ^2 (1)) = g KV1 (1), ^V2 (1)) = і (V1 (1), V2 (1)).
Предположим теперь, что неравенство g (V1 (1), V2 (1)) <С 0 неверно. Из того что V1 (1) и V2 (1) — времениподобные касательные векторы, вытекает неравенство g (V1 (1), V2 (1)) > 0. Тем самым g (V1 (1), V2 (1)) > 0 в точке q = я (q). По определению отношения эквивалентности, заданного на множестве кусочно-гладких кривых, соединяющих точки р0 и q, имеем [Yl] ф [у2].
С другой стороны, из построения M известно, что Y1 (1) = [уі 1 и
Y2 (1) = [у21. Таким образом, Yi(I)^Y2O)* чт0 противоречит условию. ?
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать следующее утверждение.
Теорема 2.3. Пусть (М, g) неориентируемо во времени. Тогда построенное выше двулистное накрывающее лоренцево многообразие 26
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
(M, g) ориентируемо во времени, и, следовательно, является пространством-временем .
Доказательство. Пусть р0 и V0 определены, как и выше. Рассмотрим гладкую кривую er: [0, 1] ->- М, соединяющую точки р0 и q; точка q f- M произвольна. Обозначим через V единственное векторное поле, параллельное вдоль er и такое, что V (0) == V0. Рассмотрим множество F+ (q) = |времениподобный w ? TqM:.
g (V (1), w) <C 0}. Определение множества F+ (q) в силу леммы 2.2 не зависит от выбора кривой сг. Следовательно, отображение q -+ -+F+ (q) корректно определяет конус будущего в каждом касательном пространстве TqM, q ? М.
Пусть h — вспомогательная, положительно определенная ри-
манова метрика на М. Непрерывное, нигде не равное нулю времениподобное векторное поле X на M можно определить путем выбора в каждом F+ (q) единственного единичного в метрике h вектора X (q), имеющего отрицательное собственное значение
метрики g по отношению к метрике h, т. е. можно указать непрерывную функцию X: M -+ (—оо, 0) и непрерывное времениподобное поле X на М, удовлетворяющие условиям X (q) f F+ (q), h (X Cq)L X?) = 1, g (X (q), v) = X (q) h (X (q), v) для всех
V C TqM и q є М. ?
В доказательстве теоремы 2.3 неявно содержится другое определение того, что лоренцево многообразие (М, g) допускает временную ориентацию. Именно (М, g) ориентируемо во времени, если для произвольной фиксированной базовой точки /?0 ^ M и времениподобного касательного вектора V0 ? Tp0M следующее условие выполняется для всех q ? /И. Пусть Y1, у2: [О, W -+-M — две произвольные гладкие кривые, соединяющие р0 и q. Если Vi параллельны вдоль yt, причем Vi (O) --- V0, і --- 1, 2, то g (V1 (1), V2 (1)) < 0. Это условие означает, что параллельный перенос конуса будущего, определяемого вектором D0 В точке Pо, в любую другую точку q f M не зависит от выбора пути, идущего из р0 в q. Следовательно, параллельным переносом из точки р0 можно подходящим образом выбрать времениподобные векторы будущего для каждого касательного пространства.
Лоренцево многообразие (М, g) обладает однозначно определенной аффинной связностью V без кручения, совместимой с метрикой g. Это означает, что
VxV-VrX = IX, Y] 2.1. Лоренцевы многообразия
27
и
X(g(Y, Z)) — g (VXY, Z) f g (У, VxZ)
для любых гладких векторных полей X, Y, Z на УИ. Эта связность V может быть определена для лоренцевых многообразий таким же способом, как для римановых многообразий определяется связность Леви—-Чивита. Описание связности V, тензора кривизны R, кривизны Риччи Ric и скалярной кривизны т метрики g дано в добавлении А. Туда же включено их представление в локальных координатах.
