Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В разд. 2.4 мы изучим причинную структуру двумерных лоренцевых многообразий. В частности, мы покажем, что если про-странство-время (М, g) гомеоморфно R2, то (М, g) устойчиво причинно.
В разд. 2.5 приводится краткое изложение теории лоренцевых подмногообразий и описание основных свойств второй фундаментальной формы. Эти факты необходимы при рассмотрении теории сингулярностей в гл. 11.
Важная теорема расщепления Герока (1970) гарантирует возможность представления глобально гиперболического пространства-времени в виде топологического (хотя и не обязательно метрического) произведения RxS, где S — поверхность Коши. Этот результат наводит на мысль о целесообразности изучения пространств, представимых в виде (К X М, —dt2 ф g), где (М, g) — риманово многообразие. Однако, хотя указанный класс и включает в себя пространство-время Минковского и статическую вселенную Эйнштейна, он не содержит физически важных решений уравнений Эйнштейна —- внешнего решения Шварцшильда и решения Робертсона—Уокера.
В разд. 2.6 мы изучим более общий класс пространственно-временных многообразий — так называемые искривленные произведения, представляющие собой пространства M1 Xj Мг с метри- 2.1. Лоренцевы многообразия
23
ками вида gt ф /g2. Этот класс метрик, изученный для римановых многообразий Бишопом и О'Нейлом (1969), а для псевдоримано-вых многообразий О'Нейлом (1981), включает пространства, допускающие представление в виде произведений, пространство-время Шварцшильда, пространство-время Робертсона—Уокера. Нижеследующее утверждение, которое можно рассматривать как «метрическое обращение» теоремы Герока, типично для результатов этого раздела. Пусть лоренцево многообразие представимо в виде произведения (R X М. —dt2 ф g), где (Al, g) — риманово многообразие. Тогда следующие условия эквивалентны:
(а) (AI, g) — полное риманово многообразие.
(б) (R X Al, —dt'2 ф g) глобально гиперболично.
(в) (R X Af, —dt2 ф g) геодезически полно,
2.1. Лоренцевы многообразия и нормальные выпуклые
окрестности
Пусть M — гладкое связное паракомнактное хаусдорфово многообразие. Обозначим через я: TM —>- Al касательное расслоение многообразия Al. Лоренцевой метрикой g на многообразии Al называется гладкое симметричное тензорное поле типа (О, 2), заданное на M так, что в каждой точке р ( M тензор g | „: TpM X TpM ->- R представляет собой невырожденное скалярное произведение с сигнатурой (—, +, ..., +). Другими словами, матрица тензора g в точке р должна иметь ровно одно отрицательное собственное значение, а все другие собственные значения должны быть положительны.
Лоренцевым многообразием называется пара (М, g), где Al — многообразие, a g — лоренцева метрика на нем. Все некомпактные многообразия допускают лоренцевы метрики. В то же время компактное многообразие допускает лоренцеву метрику в том и только том случае, когда его эйлерова характеристика равна нулю (см. Стинрод (1953, с. 250)). Пространство всех лоренцевых метрик на M будем обозначать через Lor (M).
Ненулевой вектор V ? TM называется времениподобным (соответственно непространственноподобным, изотропным, пространственно подобным), если g (V, v) 0 (соответственно ^:0, = 0, >0). Непрерывное векторное поле X на TM называется времениподобным, если g (X (р), X (р)) < 0 для всех точек р t Al. В общем случае лоренцево многообразие не обязательно имеет времени-подобное векторное поле, определенное на всем многообразии. Если же многообразие (Al, g) допускает времениподобное векторное поле X: M ->- TM, то (Al, g) называют ориентируемым во времени посредством поляХ. Времениподобное векторное поле X разбивает все непространственноподобные касательные векторы на два непересекающихся класса — класс векторов, направлен- 24
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
ных в будущее, и класс векторов, направленных в прошлое. Именно непространственноподобный касательный вектор v ? TpM называется направленным в будущее (соответственно в прошлое), если g (X (р), v) < О (соответственно g (X (р), V) >0). Лоренцево многообразие называется ориентируемым во времени, если оно допускает ориентацию во времени посредством некоторого вре-мениподобного поля X. В этом случае (М, g) допускает две различные временные ориентации, определяемые полями X и —X соответственно.
Ориентированное во времени лоренцево многообразие традиционно называют пространством-временем. Более точно
Определение 2.1. Пространством-временем (M, g) называется связное С°°-гладкое хаусдорфово многообразие размерности не меньшей двух со счетным базисом, лоренцевой метрикой сигнатуры (—, +..... +) и временной ориентацией.
Покажем, как для произвольного лоренцева многообразия (М, g), не являющегося ориентируемым во времени, можно построить ориентированное во времени двулистное накрывающее
лоренцево многообразие я: (М, g) -v(M, g). Предположим сначала, что (М, g) — произвольное лоренцево многообразие. Зафиксируем базовую точку р0 t M и зададим на ТРоМ временную ориентацию следующим образом. Прежде всего выберем в ТРоМ времениподобный касательный вектор V0. Непространственноподобный вектор w f TpaM назовем направленным в будущее (соответственно в прошлое), если g (и0, ш) <С 0 (соответственно g (v0, w) >0). Пусть далее, q — произвольная точка из М. Кусоч-но-гладкие кривые у: [0, 1 ] -vM, соединяющие точки р0 и q, у (0) = р0, у (1) = q, можно разбить на два класса эквивалентности по следующему правилу. Пусть Y1, [0, 1 ] ->- M — кусочно-гладкие кривые, подчиненные условиям Y1 (0) = Y2 (0) = ~ Po и Yi (1) = (1) = Я- Обозначим через V1 (соответственно через V2) единственное векторное поле (см. добавление А), параллельное вдоль Yi (соответственно Y2) и такое, что V1 (0) = V2 (0) = = V0. Будем говорить, что кривые Yi и эквивалентны, если g (V1 (1), V2 (1)) < 0. Если кривые Yi и Y2 соединяют точки р0 и q и гомотопны, то они эквивалентны. Обратное не верно: эквивалентные кривые не обязательно являются гомотопными. Класс кривых, эквивалентных данной кривой у: [0, 1 ] ->- М, у (0) = р0, будем
