Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 9

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 167 >> Следующая


17І

г

Я

г

P

Рис. 1.3. Если точка г находится в причинном будущем точки р, а точка q находится в причинном будущем точки г, то функция расстояния удовлетворяет обратному неравенству треугольника d (р, q) ^ d (р, г) + d (г, а). Обратное неравенство треугольника для точки /*', которая не является причинно расположенной между р и q, в общем случае не выполняется.

пары хронологически связанных различных точек р <<.' q, для которых d (р, q) — сю.

По определению лоренцева расстояния d (р, q) -— 0, если q f^ M \ J+ (р). Мы даже видели, что возможно d (р, р) = оо. Поэтому для произвольных лоренцевых многообразий нет аналога свойства (3) римановой функции расстояния. К тому же лоренцева функция расстояния, как следует из ее определения, несимметрична. В частности, для любого пространства-времени можно показать, что если 0 d (р, q) оо, то d (q, р) — 0. Вместе с тем лоренцева функция расстояния обладает полезным аналогом свойства (2) римановой функции расстояния: d (р, q) ^= d (р, г) + + d (г, q) для всех р, q, г ? М, связанных условием р < г с q. Обращение знака неравенства не является неожиданным вследствие того, что непространственноподобные геодезические в лоренцевой многообразии максимизируют, а не минимизируют длину

В силу того, что d (р, q) > 0 в том и только том случае, когда q ? /+ (/?), и d (q, р) >0 в том и только том случае, когда q ? Є Г (р), функция расстояния определяет хронологию многообразия (М, g). Сдругой стороны при конформном изменении метрики изменяется расстояние, но не хронология, так что хронология не определяет функцию расстояния. Ясно также, что функция расстояния не определяет множеств J+ (р) или J' (р) вследствие того, что d (р, q) = 0 не только для q J+ (р)\ I+ (р), но также и для

Свойством (4) римановой функции расстояния является ее непрерывность для любой римановой метрики. Для пространст-

дуги.

q 6 M\J+ (р). 18

Гл. 1. Введение

венно-временных многообразий, напротив, лоренцева функция расстояния может не быть даже полунепрерывной сверху. В самом деле, из непрерывности d: M X M —>- [0, оо ] вытекает следующее свойство причинной структуры многообразия (М, g) (см. теорему 3.24). Если (М, g) является различающим пространством-временем и функция d непрерывна, то (И, g) причинно непрерывно (см. гл. 2, где приведены соответствующие определения). Следовательно, для произвольных пространственно-временных многообразий необходимо допускать отсутствие непрерывности и конечности лореицевой функции расстояния. Тем не менее лоренцева функция расстояния в случае, если она конечна, является полунепрерывной снизу. Это может быть связано с полу-непрерывноетью сверху в С°-топологии лоренцева функционала длины дуги сильно причинных пространств при построении пепро-странственноподобных геодезических реализующих расстояние, в некоторых классах пространственно-временных многообразий (см. разд. 7.1 и 7.2).

Учитывая все эти замечания, естественно задаться вопросом: можно ли найти класс пространственно-временных многообразий, для которых лорениева функция расстояния принимает только конечные значения и или непрерывна? Одним из таких классов являются глобально гиперболические прсстранетвепно-Ерьменные многообразия. Пространство-время (M, g) называется здесь глобально гиперболическим, если оно сильно прпчрнно и удовлетворяет следующему услогпю: множества вида Jr (/?) П (я) ксм~ пактиы для любых р, q ^ М. При доказательстве теорем о еннгу-лярностях в общей теории относительности информация о том, что (M, g) глобально гиперболично и, значит, лореннега функция расстояния конечнозначна п непрерывна, оказывается чрезвычайно полезной. Любопытно отметить, что конечность функции расстояния в большей степени, чем ее непрерывность, характеризует глобально гиперболические пространственно-временные многообразия в следующем смысле (см. теорему 3.30). Будем говорить, что пространство-время (М, g) удовлетворяет условию конечности расстояния, если d (g) (р, q) <С оо для любых р, q ^ ? М. Можно показать, что сильно причинное лоренцево многообразие (М, g) глобально гиперболично тогда и только тогда, когда (M, g') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех g' G С (М, g).

На основе определения минимальной кривой в римановой геометрии дадим соответствующее определение для пространственно-временных многообразий.

Определение. Направленная в будущее непростргнственно-подобная кривая у из р в q называется максимальной, если L (7) =

= d (Р. Ф- Римановы мотивы в лоренцевой геометрии

19І

Можно показать (см. теорему 3.13) в точности так же, как для минимальных кривых в римановых пространствах, что если у является максимальной кривой из р в q, то у можно перепараметризовать в непространственноподобный геодезический сегмент. Этот результат можно использовать для построения геодезических в сильно причинных пространственно-временных многообразиях как предельных кривых подходящих последовательностей «почти максимальных» неиространственноподобных кривых (см. разд. 7.1 и 7.2).

Ввиду свойства (Д) теоремы Хопфа—Ринова для римановых многообразий вполне разумно искать класс пространственно-временных многообразий, удовлетворяющих следующему свойству: если р с q, то существует максимальный геодезический сегмент из р в q. Используя компактность J+ (р) П J' (q), можно показать, что глобально гиперболические пространства всегда содержат максимальные геодезические, соединяющие две любые причинно связанные точки.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed