Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
X
2
-Й1-' J (cose^exp — -і-iArtg 6 -J-(с — 2a)ioj
dB.
Аналогичная формула получается, если путь интегрирования деформируется в отрезок ^O1 —-g-j, вдоль которого теперь полагаем t = Utri*, и луч / 1 1 \ е1 (9~*'
I—у, —2—«ooj, вдоль которогоt= g cos g • Вычитая вторую формулу из первой, получим
*
? 2
с; jc) = 21_СГ(1 — а)« 2 j (cosЄ)ге cos[-Jtgв +(2a — с)9]dB, (ІЗ)
X > 0, Rec<l, аф 1, 2, ...
Условие Re а >¦ 0, использованное при выводе, может быть снято путем аналитического продолжения. Однако некоторое ограничение на а должио быть наложено для того, чтобы обойти полюсы гамма-функцни. Формула (13) соответствует интегральному представленню 6.9(29) для ft-функции Бейтмена.262 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1Гл. &
Мейер (С. S. Meijer, 1938, 1941) дал два следующих интегральных представления:
л — —¦ ®® _' ^Jj 2f
V(a,c;x) = x 3 ^ в Т P^(cht) (2shi)1-^, (14)
1 З
f» = c — 2а + у, v=c —у, Re а: > 0, ReX<l,
и
1 Л — — + 1 — — — с
У (в, с; лг)=-і=г2 2 є**» T X У »
» - J- (sh <)»
X \е 3 De-«, (/2а: ch t) ch [(с — 1) і dt\, (15)
Re де >• 0.
6.11.3. Функции Уиттекера. Основные интегральные представлення для вырожденных гнпергеометрнческих функций Уиттекера таковы:
Г (у-* + (*)г(у+х + к)«**'(*)-
—I
Re(|*±*)>— ? ов _ 1
!({+» + ^„,М^Гігц + І)«5^^«' TJsli(2yU)dt, (17)
Re(|i + *)>-y{
T [j-^-v) Wxjlk(X)=,
-rV^jrt^'^d+o-^^V (їв)
Re((i — *)>— y, Re*>0,
R
Г(»)Г (І-(і-* + f*-s)
-LLr-ГТТ^-\-Lx'ds< <ls>>
з 3
~ у n < arg .* < у к,6.13]
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛАГЕРРА
263
где ни + ни у + * — (і не являются целыми положительными, а пуіь
интегрирования отделяет полюсы Г(з) от полюсов
6.12. Разложения по многочленам JIareppa и функциям Бесселя
Для вырожденной гипергеометрической функции, помимо разложений в степенные ряды, бывают полезны другие разложения.
Положим в формуле 6.11(9)ір=0, с = в + 1, ].ИЦ • П°лу*им
(0+) _ хщ
W (а, в+1; *) = і ?""1(1- а) V е 1 ~ V"1 (1 — u)-»"1 du. (1) Но '
*« от
(l-u)-*-le =^lItfHx)и", IuKl, (2)
»=l>
является хорошо известной производящей функцией для обобщенных многочленов Лагерра (Сеге, 1962, (5.1.9)). Так как ряд сходится лишь внутри
(0+1 (0+)
единичного круга | и | < 1, пишем V = lim \ , v -— 1—, и подставляй»
Г V
(2). Так как щ
(0+)
С Ma+n-irfM _ Sjn (вл)рП+я
V
то получаем
со
Г (а) a-l-l;*)= Iim Vа 2 (n+a)~xvnL^x v-»t — я = 0
и, в силу теоремы Абеля о непрерывности степенных рядов, имеем
Г (а) ? {а, а +1; *) = fj (п + а)~ iL^ (х), (3)
в=0
где бесконечные ряды сходятся. Из известной оценки для обобщенных
многочленов Лагерра (Сеге, 1962, теорема 7.6.4) видно, что если а <
то ряд сходится в любом конечном положительном отрезке для х. С другой стороны, используя преобразование 6.5(6), имеем
Г (а — а) Ч? {a, a -J-1; х) = х~ « fj (п + а-*у 1 •> (X)i (4)
« = о264 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл в
где ряд сходится (для положительных х), если а>—. Вне положительной
вещественной полуоси оба ряда расходятся. Разложения (2) н (4) принадлежат Трихом и. Другое разложение по многочленам Лагерра
OO
« = V -*r 2wnL"~X){y)xn' (5)
я=o
является обобщением разложения (2) н при х=.у дает разложение функции Ф на отрицательной полуоси по многочленам Лагерра Оно принадлежит Эрдеии (Erdelyi, 1937а, равенство (5 7))
Трикоми (Tncomi, 1947, 1949) дал два разложения функции Ф по функциям Ьессетя Эти разложения потезны для изучения поведеннл функции Ф при больших значениях параметра. Первое разложение имеет вид
_со ™
Ф(-а, а+1; *) = Г(а + 1)(о*) 2 ^S^mW(^) 2Л+т(2 V™), (6)
т=0 4 '
где а вещественно, A^O и коэффициенты Am определяются с помощью производящей функции
OO
2 Am (A) zm =Oax [1 + (А — 1) г]а (1 + hz)-*-«-1. (7)
m=0
Из асимптотического представления функции Бесселя большого порядка видно, что бесконечный ряя (6) сходится одновременно с рядом
2°° Am(.h)xm Г(а+т +1)
ot=o
и, следовательно, абсолютно и равномерно сходится в каждой ограниченной области комплексной плоскости х. Из (7) имеем
4,= 1, А=-(«-И)А. Л. —(*— у)«+ -у <а+ 1)(. + 2) Ai (8)
и рекуррентное соотношение
(» +1) An^1 = 1(1 -2А) т - А (а +1)] Am -
- [(1 - 2А) а + А (А -1) (а + т)\ Am., + А (А - 1) аАт_„ (9)
т = 2, 3, 4, ...,
для вычисления остальных А. Поэтому
(0) = (-Ir^-mfW, Am(l)=!-«*+»+'+1»(-а), (10) и если а = п = 0, 1, 2, то
2 С*(А- 1 -»»+«+•+')(-ь>о \ п і6.ІЗІ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 265
Функции А являются многочленами от а, а, Л и степень Am по а равна [т]' еСлИ и [іг]' если^ = "§"(М — наибольшее целое, меньшее
или равное Ь). Наиболее удобным значением для А является І. Второе разложение Трикоми имеет вид
JC
е 3 Ф(а, a-f-l; х) =
а со Ji
= Г (« + 1) (%Х)~ 2 2 (*, I + f) 2Л+„ (ZVfx), (И)
п=0
1 , а
где * = -j + 2—а явяяется параметром Уиттекера и Am (*, X) — коэффициенты в разложении
e««(l_z)^(l+z)r*-^= X)z", |*|<1. (12)
я=0
Трикоми (Tricomi, 1950) доказал с помощью рассуждений, похожих на примененные в связи с формулой (6), что бесконечный ряд в (11) сходится во всей птоскости х. Кроме тою, разложение (И) может быть применено для приближенного вычисления функции Ф при больших значениях *. Из (12) имеем.