Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
С с' I
>=Г(с')лг2 2~ ®-(с -а', г+с' — а — а", л)Ф(а\ а + а';—х), (23) Re с' > О, I < Re (с + с') < 2Re (а + а') + у, 276 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл в
И
оо
T(I)J <г*&ф(а, С, С) ф (а', С; It) dt =
= CT(C)TQ) \°F(C-a,?; Г. 1-X-1), (24)
где либо
р = с—1, а=—с, р = с—с" +1, T = C—а + а"— с + 1,
^ Г(а'-а) Г (a') »
либо
р=с + с" —2, O=I-C-C*, P = C + ^- 1, _ Г(в' — а — С + 1)
Эти и многие другие интегралы могут быть найдены в работах Эрдейи и особенно Мейера. Эрдейи (Erdelyi, 1936d) выразил также интеграл
(0+)
iit (ai2) • • • Mtm («„«) dz
со
через гипергеометрическую функцию Лауричелла от п переменных.
Некоторые бесконечные ряды, содержащие вырожденные гипергеометрические функции, таковы:
UU
2 (С~(с)я"(/)~пР" ф(я> ~с + я: *)¦(«'.«'+ «Л«"-
I=O Я Я
оо
=«* 2 (?ис%Яф(а+я'с+п; х~*)ф("+п>з»-2)» (25)
л—О
оа
2 (-%П?г5іф(в+я'с+я' *-2)ф(в'. с + «;*)*"=
( — о я я
оо
- 2 *)ф(в'+/г' с' + «: ^(26) л =>0
OO
я«=0
хф(А + «,С'+/.;^)((-т^г)Я> MKl; (27)
л=o 'в.16] ВЕЩЕСТВЕННЫЕ НУЛИ 277
оо
IT(C-X)P 2r(XJ~n> Ф(Я~Я' С; х)ф(а~п> Ч У) =
я= О
mini*, у)
(• pt A-I
-РСИЧЧГЇ" J ^,^,цх-т X
о
хФ(а, С —X; х—і)Ф(а, с —X; y — t)dt, (28)
OO
2 (Уі"Hl ф(Д + — с» c + 2«: -Ф?Я=Ф(«, <5 ¦*>*(«', <5 X). (29)
п=0
Эти ряды взяты из работ Эрдейи, где исследованы также другие ряды. Си. также Burchnall, Chaundy, 1940, 1941.
6.16. Вещестиенные нули для вещественных а и с
Из 6.9(1) и 6.9(2) вытекает, что нули функции Mxill совпадают с нулями функции Ф, а нули Wrltll-C нулями 1F, исключая, быть может, X = 0, со.
Если а и с вещественны, то Ф имеет лишь конечное число вещественных нулей, a 1F — лишь конечное число положительных нулей. В самом деле, на любом конечном отрезке лежит лншь конечное число нулей, а, в силу 6.13(1) и 6.9 (3), нет ну чей при достаточно больших значениях Из
дифференциального уравнения Уиттекера 6.1 (4) можно вывести, что при вещественных значениях а и с каждая вырожденная гипергеометрическая функция имеет лишь конечное число нулей.
Более детальное изучение числа вещественных нулей для Ф(а, с*, х), где а и с вещественны (Kienast, 1921), основано на том обстоятельстве, что при некоторых предположениях либо функции Ф(а+1— у, с; х) (у = = 0,1,...,«+1), либо функции Ф(а + у, с; х) (у = 0,1,..., л) образуют ряд Штурма. Результаты Кинаста удобно изображать в виде диаграммы, где (вещественная) (а, с)-плоскость разделена на области, внутри которых функция Ф нчеет заданное число или положительных, или отрицательных нулей (рис. 5, 6). В следующих диаграммах вертикальные линии отнесены к областям, расположенным справа от них, а наклонные линии — к областям, лежащим слева от них. Вдоль горизонтальных линий с = = 0, — 1, — 2,...функция Ф не определена.
Положительные нули для ?'(0, с; х) могут быть изучены таким же образом. Однако для отрицательных вещественных х функция V, вообще говоря, принимает комплексные значения и отлична от нуля (см. 6. 8(14)). Равенства 6.5 (2) и 6.5 (6) показывают, что функция 1F не может иметь по» ложительных нулей, если а и с вещественны и либо а> 0, либо а — с +
+ 1>0. Если —п<а<1 — п, п = 1,2.....функции Sr (а + ./, с; х), у =
= 0,1,..., п, образуют ряд Штурма; все эти функции положительны при больших положительных значениях х, а их знак, когда -«г —^ 0, выясняется из формул 6.8 (2) и 6.8(5). Полученная отсюда информация может быть представлена в виде следующей ниже диаграммы (рис. 7). Эти результаты совпадают с результатами, полученными Милном (Milne, 1915) и Цветковым, 1941 а.
Приближенные выражения для нулей были даны Трикоми (Tricomi, 1947). Из 6.12(1!) вытекает» что если Sr- г-й положительный корень функции Ф(а, с; х) и Jc-Il у — г-й положительный корень для Jc^1 (х), то прн 279 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " ІГл. в
С
7 -7 6 -S 5 -S 4 3 -3 г -г 1 -7 с ff О а
6 5 і 3 2 7 0 1
5 <t 3 г 1 0 1 0
<t S 2 / 0 1 0 -г 1
3 г Г о 7 о 1 ~3 0
г 1 0 і О 1 о /
7 о 1 о T о / S 0
а 1 а г в / о 1
•
Рис. б. Положительные нулн Ф (а, с, х). 817]
ДЕСКРИПТИВНЫЕ СВОЙСТВА
279
больших значениях х
(і)
Шмидт (Schmidt, 1937) нашел аналогичный результат и показал, что ряд^ первые два члена которого даются формулой (1), сходится при достаточно
Рис. 7. Положительные нули Ф (а, с; х).
больших значениях | а |; r-й положительный корень можег быть приблизительно выражен так:
2с —4а
(2)
Дальнейшие детали относительно нулей содержатся в цитированных выше работах Триноми и Цветкова.
Комплексные корни (для вещественных вис) были изучены Цвсмковым, 19416, я Трикоми (Tricomi, 1950а).
6.17. Дескриптивные свойства при вещественных а, с, х
Результаты п 6 16 вместе с формулами дифференцирования, такими как 6 4(10) и 6 6(11), дают информацию относительно числа и приближенного положения нулей, точек экстремума и точек перегиба для вырожденных гипергеометрических функций, когда а, с, х, а следовательно,Ф и 1F вещественны Теорема Сонина — Пойя (Сеге, 1962) определяет поведение величин последоватс іьньіх максимумов и минимумов. Запишем уравнение 6.1 (2) в 281
