Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 74

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 87 >> Следующая


X

2

-Й1-' J (cose^exp — -і-iArtg 6 -J-(с — 2a)ioj

dB.

Аналогичная формула получается, если путь интегрирования деформируется в отрезок ^O1 —-g-j, вдоль которого теперь полагаем t = Utri*, и луч / 1 1 \ е1 (9~*'

I—у, —2—«ooj, вдоль которогоt= g cos g • Вычитая вторую формулу из первой, получим

*

? 2

с; jc) = 21_СГ(1 — а)« 2 j (cosЄ)ге cos[-Jtgв +(2a — с)9]dB, (ІЗ)

X > 0, Rec<l, аф 1, 2, ...

Условие Re а >¦ 0, использованное при выводе, может быть снято путем аналитического продолжения. Однако некоторое ограничение на а должио быть наложено для того, чтобы обойти полюсы гамма-функцни. Формула (13) соответствует интегральному представленню 6.9(29) для ft-функции Бейтмена. 262 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1Гл. &

Мейер (С. S. Meijer, 1938, 1941) дал два следующих интегральных представления:

л — —¦ ®® _' ^Jj 2f

V(a,c;x) = x 3 ^ в Т P^(cht) (2shi)1-^, (14)

1 З

f» = c — 2а + у, v=c —у, Re а: > 0, ReX<l,

и

1 Л — — + 1 — — — с

У (в, с; лг)=-і=г2 2 є**» T X У »

» - J- (sh <)»

X \е 3 De-«, (/2а: ch t) ch [(с — 1) і dt\, (15)

Re де >• 0.

6.11.3. Функции Уиттекера. Основные интегральные представлення для вырожденных гнпергеометрнческих функций Уиттекера таковы:

Г (у-* + (*)г(у+х + к)«**'(*)-

—I

Re(|*±*)>— ? ов _ 1

!({+» + ^„,М^Гігц + І)«5^^«' TJsli(2yU)dt, (17)

Re(|i + *)>-y{

T [j-^-v) Wxjlk(X)=,

-rV^jrt^'^d+o-^^V (їв)

Re((i — *)>— y, Re*>0,

R

Г(»)Г (І-(і-* + f*-s)

-LLr-ГТТ^-\-Lx'ds< <ls>>

з 3

~ у n < arg .* < у к, 6.13]

РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛАГЕРРА

263

где ни + ни у + * — (і не являются целыми положительными, а пуіь

интегрирования отделяет полюсы Г(з) от полюсов

6.12. Разложения по многочленам JIareppa и функциям Бесселя

Для вырожденной гипергеометрической функции, помимо разложений в степенные ряды, бывают полезны другие разложения.

Положим в формуле 6.11(9)ір=0, с = в + 1, ].ИЦ • П°лу*им

(0+) _ хщ

W (а, в+1; *) = і ?""1(1- а) V е 1 ~ V"1 (1 — u)-»"1 du. (1) Но '

*« от

(l-u)-*-le =^lItfHx)и", IuKl, (2)

»=l>

является хорошо известной производящей функцией для обобщенных многочленов Лагерра (Сеге, 1962, (5.1.9)). Так как ряд сходится лишь внутри

(0+1 (0+)

единичного круга | и | < 1, пишем V = lim \ , v -— 1—, и подставляй»

Г V

(2). Так как щ

(0+)

С Ma+n-irfM _ Sjn (вл)рП+я

V

то получаем

со

Г (а) a-l-l;*)= Iim Vа 2 (n+a)~xvnL^x v-»t — я = 0

и, в силу теоремы Абеля о непрерывности степенных рядов, имеем

Г (а) ? {а, а +1; *) = fj (п + а)~ iL^ (х), (3)

в=0

где бесконечные ряды сходятся. Из известной оценки для обобщенных

многочленов Лагерра (Сеге, 1962, теорема 7.6.4) видно, что если а <

то ряд сходится в любом конечном положительном отрезке для х. С другой стороны, используя преобразование 6.5(6), имеем

Г (а — а) Ч? {a, a -J-1; х) = х~ « fj (п + а-*у 1 •> (X)i (4)

« = о 264 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл в

где ряд сходится (для положительных х), если а>—. Вне положительной

вещественной полуоси оба ряда расходятся. Разложения (2) н (4) принадлежат Трихом и. Другое разложение по многочленам Лагерра

OO

« = V -*r 2wnL"~X){y)xn' (5)

я=o

является обобщением разложения (2) н при х=.у дает разложение функции Ф на отрицательной полуоси по многочленам Лагерра Оно принадлежит Эрдеии (Erdelyi, 1937а, равенство (5 7))

Трикоми (Tncomi, 1947, 1949) дал два разложения функции Ф по функциям Ьессетя Эти разложения потезны для изучения поведеннл функции Ф при больших значениях параметра. Первое разложение имеет вид

_со ™

Ф(-а, а+1; *) = Г(а + 1)(о*) 2 ^S^mW(^) 2Л+т(2 V™), (6)

т=0 4 '

где а вещественно, A^O и коэффициенты Am определяются с помощью производящей функции

OO

2 Am (A) zm =Oax [1 + (А — 1) г]а (1 + hz)-*-«-1. (7)

m=0

Из асимптотического представления функции Бесселя большого порядка видно, что бесконечный ряя (6) сходится одновременно с рядом

2°° Am(.h)xm Г(а+т +1)

ot=o

и, следовательно, абсолютно и равномерно сходится в каждой ограниченной области комплексной плоскости х. Из (7) имеем

4,= 1, А=-(«-И)А. Л. —(*— у)«+ -у <а+ 1)(. + 2) Ai (8)

и рекуррентное соотношение

(» +1) An^1 = 1(1 -2А) т - А (а +1)] Am -

- [(1 - 2А) а + А (А -1) (а + т)\ Am., + А (А - 1) аАт_„ (9)

т = 2, 3, 4, ...,

для вычисления остальных А. Поэтому

(0) = (-Ir^-mfW, Am(l)=!-«*+»+'+1»(-а), (10) и если а = п = 0, 1, 2, то

2 С*(А- 1 -»»+«+•+')(-ь>о \ п і 6.ІЗІ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 265

Функции А являются многочленами от а, а, Л и степень Am по а равна [т]' еСлИ и [іг]' если^ = "§"(М — наибольшее целое, меньшее

или равное Ь). Наиболее удобным значением для А является І. Второе разложение Трикоми имеет вид

JC

е 3 Ф(а, a-f-l; х) =

а со Ji

= Г (« + 1) (%Х)~ 2 2 (*, I + f) 2Л+„ (ZVfx), (И)

п=0

1 , а

где * = -j + 2—а явяяется параметром Уиттекера и Am (*, X) — коэффициенты в разложении

e««(l_z)^(l+z)r*-^= X)z", |*|<1. (12)

я=0

Трикоми (Tricomi, 1950) доказал с помощью рассуждений, похожих на примененные в связи с формулой (6), что бесконечный ряд в (11) сходится во всей птоскости х. Кроме тою, разложение (И) может быть применено для приближенного вычисления функции Ф при больших значениях *. Из (12) имеем.
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed