Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
6.13.3. Большие значения переменного и параметра. Еслн а ограничено, с —> оо и X —<¦ оо так, что | х \ < | с |, то поведение функции Ф может <5ыть изучено с помощью формулы 6.1(1). Положим X = Л, OsSl SIsSI — — е(е>0) и используем 1.18(4). Тогда имеем при с-»оо
I = Т(с) (C)n г (с+ я)
!<r«[l_|.(„_l)c-»+0(|c|-)j
ф(а, с; с?)=(l-5)"«|"l- a^+1) (-y^")' +0(1 cI"*)], (IB)
а ограничено, 111 ^ 1 — е, е > 0.
Соответствующая формула при ограниченном с — а и с, х — со может быть Долучена с помощью преобразования Куммера, формула для 1F — с помощью 6.5(7).
?сли а их неограниченно возрастают, поведение вырожденных гипергео-Ыетрических фуцкций более сложно, Тейлор (Taylor, 1939) применил метод 6.ІЗІ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 269
Лангера, чтобы вывести асимптотические формулы для вырожденных гипергеометрических функций из дифференциального уравнении. Положим снова
* = у — а. (19)
Тейлор вводит вспомогательное переменное
! = iji- Ух /J=IT- * In (Ух+Vx=Sf I (20)
Здесь аргументы чисел х, х и х — 4х равны нулю, если эти числа положительны, а для других значений аргументы получаются с помощью аналитического продолжения, при котором выполняется условие Iargje—argxj^: sg; я. Тейлор изучил сначала асимптотическое поведение функции 1F при условии, что S-*со, причем существуют также постоянные г к N такие, что 0 CrsSl 1, N>0 и IX і > NI * |~*+гг, когда х —<-оо. Его результаты в этом случае имеют следующий вид:
arg 5 между Cl 1 JC —1С 2 4 . . .4 * 2 „,, * X (Jt—4») в V(в, с; Je) =
- 2* + «, — • (А- йГ [1 + О (| * Г') + О (| E Г Sl (21)
— it + 2* — * +Oflx I-r) + 0 (1 Ї |—1)1 (22)
« 4- >, Зх — • (eft + te~ tt) [1 + О (I « Г') + О (15 г')! * (23)
2я -f- «, 5* — « to-ftll + 0(|«rr) + 0(ier1)l (24)
і
При ограниченном E или х — 4х = 0(|х|3) Тейлор получил асимптотическую формулу
і. j. -L — *•_?. »-"je® 4 (je —4*)4 е 3 Т(а, с; аг) =
iL _ JL _ JL
[e6J L(i)-e 6 J1 (Є)Т + 0(|х| 6), (25) З T
J_
x—4x=0((x|3), x — oo. Для Ф Тейлор получил
с___1___х_
(XJt) 2 2 е 2 Ф(а, с; Jrtsa
_ 8
se Г (с) /с_! (2 V*x) -(- X tJC4 О [ехр I Im (2 Vrx) |], (26)
і
¦а--1
с, arg ж, arg* ограничены, X=O (|* |в ), *-»оа 270 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " ІГл. в
Если XX велико, функция Бесселя может быть выражена через элементарные функции
..__1 — Т~ -T1 Ii yioe . —2і Vlx ,
Je(2V*x)=> -yf% х ^e +с'е +
+ г»=- О [ехр I Im(2 V%x) I ]}, Vwc
где C1 и C1 такие же, как в (13) и (14)
Далее, при больших а их разложение Трикоми 6.12(10) является асимптотическим представлением, если z -»со и х = 0( | *|Р) для некоторого р <
(Tricomi, 1949)
Случай, когда оба параметра и переменные велики, не изучен еще систематически. Эрдейи (Erdelyi, 1938) применил метод наискорейшего спуска к интегральным представлениям типа Лапласа для того, чтобы исследовать поведение вырожденных гипергеометрических функций, когда
x = vX+%, a = Vi4 + a, с — e = vA-f-?, А,В,Х—вещественные, (27)
и либо
А> 0, А">0, (28)
либо
.А>0, В>0. (29)
Вещественные числа А, В, X, а также числа а, ?, S1 которые могут принимать и комплексные значения, считаются фиксированными, когда v-*oo вдоль положительной полуоси. Квадратное уравнение по t
;ft(* + l) — A (t + l) — Bt = O (ЗО)
имеет в обоих рассматриваемых случаях два различных вещественных корня-В случае (28) обозначим через t, (единственный) положительный корень, а в случае (29) — через ta (единственный) корень уравнения (30), лежащий между —1 и 0 Положим тогда
uh=A( 1 + і„Г + Btl = (1 + th)(A + Xtk), h = 1, 2, ... (31)
Эта величина положительна в обоих случаях Тогда имеем
Г (в) Y (а, ах) = Yfi е~tlX tf (1 + trf - а [1 + О (*-«)], (32)
Л >0, Х>0, V —со,
и
Г(в)Г(с-в)Ф(в, с; X) =
= Г(С) [1 +OK1)], (33)
Л> 0, 5 > 0, M— со. Эти формулы могут быть выведены соответственно из 6.5(2) и 6.5(1). ft. 14] ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ 271
6.14. Теоремы умножения
Разложение Тейлора
OO
/M-Ifc=Jcs^rm
л = O
с одной стороны, и разложение
OO
If(Kx)= 2 і О-*-Т [*•/(*)].
B = O
являющееся частным случаем разложения Лагранжа (Уиттекер и Ватсон, 1961, 7 32), с другой, являются источниками «теорем умножения» для функ-
an fix) dn \xnf(x)\
ЦИЙ, ДЛЯ КОТОРЫХ НЗВеСТНЫ ЛИбО ВСЄ ^n , ЛИбО ВСЄ- fan ПРИ'
меняя формулы из п 64 и 66, получаем следующие формулы умножения*
оо
Ф(а, с; Xx)= 2 *(« + ». с + я' х)> (1)
в = О
оо
Ф (а, с; Xx) = X™ ^ ° ~J)n (1 - VT* (а, е~щ х), (2)
в = 0
OO
Ф(а, с; Хх) = Х-° 2 ^(І-І-'УФІ« + «, с; •*). ReX>i; (3>
в = 0
OO
Ч(а,о;Хх)= J + е + * лг), |Х-1|<1; (4)
„ = о
• OO
V (а, с; Xx) = X*-' 2 ~ ^ 1)я (1 - Xf Y (а, с - я; *), |Х-1|<1;(5)
B = O OO
ЧГ(а, с; Хлг) = Х-» 2 (а")(а7|С + 1)" (1~Х~1)ЯY(а + "' с: jc^ (в
і я=0
|Х —1|<1, ReX>i Bce эти формулы могут быть переписаны как формулы сложения, если положить X = I Хх = х-\-у. Следующая формула умножения
Ф (в, с, Xx) =
OO
'= 2 ig + n)nn\ х)Пр+ + * + 2«+1; х) (7
л = О
принадлежит Эрдейи (Erdelyi, 1936с). Здесь g—любой параметр, которыи не может принимать лишь отрицательных нечетных значений. Ряд Гаусса/1, входящий в формулу (7), является многочленом Яноби и превращается в у іьтрасферический многочлен, если g = 2c— 1, и в многочлен Лежандра, если g = c= 1. 272 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " ІГл. в
