Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
6.15. Ряды и интегральные формулы
За последние 20 лет было получено большое число соотношений, содержащих бесконечные ряды или интегралы вырожденных гипергеометрических функций. Здесь нет единой теории и полное изложение всех результатов было бы неосуществимо. Мы приведем некоторые примеры наиболее интересных результатов и некоторые ссылки на литературу. Эти ссылки далеки от того, чтобы быть исчерпывающими, и дальнейшие работы могут быть найдены, в частности, в английской и индийской периодической литературе.
6.15.1. Ряды. Многие из рядов, содержащих вырожденные гипергеометрические функции, которые изучены в настоящее время, имеют одну из следующих трех форм:
2 — я. <П •*).
л=0
f| ря*»Ф<в+л,с + 2л; х), (2)
п=0
57л*»4>(в, с + п; х). (3)
я=0
Некоторые из найденных результатов приведены в следующей таблице:
Коэффициенты Сумма
Re <2С - с) > -І Г (С) C-C^1 , . ТІЇ* (4)
•п-.д Re с > Re Cf >0 |#!<1, |argJt|<i* г (?) [Г (с-) г (с - ?')1-1 (і - if ~ с Jt1 ~ с X Jf х| и ~ 1 (х- п)С ~ ~ 1 Ф (a. Cfi в) X (5)
і* к і'і (6)
я. и-с- я+1; 2-е; 2) X 2 е 17)
т . *(• + «)*". ¦Я л!Г(с + л) Re с > Re » > 0 1 — с х X f Irf к — 1. ,с — » — 1 . , Г (с — т) }е ¦ (* ¦» X X Ф (а. с — »; х —и) du (8) ft !5J РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 273
Об этих и других связанных с ними результатах см. ErdeIyi. 1936 в, с: 1937 а, с. В (6)
л
Ш=0
Дальнейшие ряды см. в 6.15.3.
6.15.2. Интегралы. Неопределенные интегралы, содержащие вырожденные гипергеометрические функции, получают из формул дифференцирования п. 6.4 и 6.6. Многие определенные интегралы могут быть выведены из фор* мул п. 6.10.
Если A=— 1 и Re а > Re ft > 0 в 6.10(5) или если Re а > Re ft > 0 и Re с > Re ft-(-1 в 6.10(7), то можно положить s—^ оо. Таким образом,
||»-Ф(»,«»<*»<*«. (W)
J^hc ,„.Mjgjgsa-ta. (U)
0 < Re ft < Re о, Re с < Re ft +1.
Эти формулы являются формулами обращения Меллина для 6.5(4) и 6.5(5). Другие интегральные формулы таковы:
00
1 сое (2ху) Ф (в, с; —у») Ay= *
OO ^ 1
Г(й) J ут~ 2Jc-I (2 Yw) • (в, c;-2Vy)W(a, с; 2 Yy) Hy =
__с___
= 2-е Г (с)/ 2 а(1 + /Гмг'° ^rX- , (13)
Re с > 2, Re (с —2в)<-і (эт0 — обращение преобразования Ганкеля для 6.15 (19)), взаимная формула
t°
(1 + —o ~1 W(а, с; tx)dt =
OO
=r(tf) I (1 +^-°"1 W (o', с'; ?к) (14) Ree>0, Re в > Re с' — 1, Re в' > 0, Ree'>Rec —1. 274 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл в
Іеорема сложения Магнуса (Magnus, 1946), имеющая вид
+ Ioo
^ Г(— в) Г (с — a) W (в, с; x)W(c — а, с; у) da =
J_ 2vi
-loo
= Г(е)?(с, 2c; X+у), (15)
и формула
00
^ B--xXc+"-1 (jc +J,)-1 ф (в, с; X) dx =
= (— 1)" Г (с) Г (1 — в) /+»"і T (с _ в, с; у), (16) — Rec<n< 1 — Ree, n==0, 1, 2, ..., Iargj,| <и,
тесно связаны с обращением преобразования Стильтьеса для 6.8(15). Отметим еще некоторые результаты Мейснера (Meixner, 1933). Интегралы по параметрам были также вычислены Эрдейи (Erdelyi, 1941) и Бухгольцем (Buchholz, 1947, 1948, 1949)
Другие типы интегралов возникают при изучении нулей вырожденных гипергеометрических функций. Цветков, 1941, доказал, что для любых двух нулей 5, т) функции Ф имеем
1 і ,г , *
Pr*. 1 1 — тг ?+4)*
\ \j- + 2 х^Фіа, с; 5*)Ф(в, с; ^x) dx = 4,
5^1), Rec>0, = (у)Н[Ф(в + 1, с; 5)]', 5 = 1, ReoO, и для любых двух нулей 5, ц функции Ф имеем
Cfi 1
Г Г* 1 1 —
—2 Xе У (в, с; g*) ? (а, с; цх) dx = О,
і
= _ г[Ф (в -1, с; 5)]-», s = і).
Отметим также формулу обращения с ядром _ix
N(k,x) = e 2 ф + lk> с' tx). в>0-
Из
/(ж) - J N (к, x)g(k)dk
Т [т+ ik)V ik) kK Syc-1Nik, y)f(y) dy. ЪсГТЧ/Л!» o
вытекает при некоторых предположениях
s(k)~ 2к [Г (с)]
6.15.3. Произведения вырожденных гипергеометрических функций.
При изучении произведений вырожденных гипергеометрических функций часто используют обобщенные геометрические ряды (см. гл 5). В этом пункте будут рассмотрены некоторые случаи, в которых такое обобщение ие нужпо. 6.15] РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 275
Некоторые наиболее важные интегральные представления таковы: _ Jt
е 2 2 Ф (а, с; х) Ф (а\ с; =
\-ф
X
X (s +1-)0^ CF{ а, а'; с; Axy [4ss-(х-v)*]'1 ? ds, (171
где L — петля, начинающаяся и' заканчивающаяся в точке —оо и обходящз особенности подынтегральной функции, то есть четыре точки se±yд;і 1
±. у .у, в положительном направлении, а также Г(а)Г(с — а) Ф(а, с; Ф (а, с; — х) =
OO — OO
Re а > 0, Re (с — а) > 0;
OO
Г (а) Ф (а, с;—х) W (а, с) х) = T (с) х™ j Jc_t (х sh t) (ш -jj^dt, (19)
о
Re а > 0, Re л: > 0;
яф"(а, с; дг)®-^ — а, с; х) =
к
T
= Zx-V J (^7) cos № -2a)t] ±-tdt; (20)
Г (t) ^ (в, с; х) Ir (а\ с; т) =
00
= \ e-<*-4x + tr»<y + t)-"F[a, «'; г, (????]^ (21) о
7=в + в'—с+1, Re^xj, хуф0. Можно добавить следующие интегральные формулы:
OO _ »
^ B-sHc-1 Ф (а, <с; t) Ф (о', с,- X*) dt =
= Г (с) (s — 1)-« (s — Iya'Sa+0"0 F [а, а'-, с; X (s — I)"1 (s — X)-'], (22 )
Rec> 0, Re s > ReX+ 1,
OO S- -f.fi _ l _
r(e + a')$j>2 2 Jc+c>-sVYху)Ч{а, с; у)Ф(а', С; -y)dy =
