Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Др}іие пары преобразований Лапласа вытекают из первого экспоненциального интеграла Вебера
L{t 2 4(2/0)=^1^-8-^(0^+1:-0. (8>
Re а > 0, Re s > 0. 258
ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЁТРИЧЁСКАЯ ФУНКЦИЯ: ~ - ГТя. в
Точно так же
__V _J
L{ta 2 v+I; «-!), (9)
Rea>0, Re в > Re ч, Res>a
Соотношение
L (^1 F (а, Ь• с; — *)} = Г (с) s<™ T (в, а — Ь +1; s), (10)
Re с > 0, Re s > 0,
эквивалентно интегральному представлению функции Wx „, данному К. С. Мейером.
Другая пара преобразований
Ь{е-'*Р~2Ф(а, е; ?')} = Г(2С — 1)^(с — -i, а + ±; is8), (11)
Rec>-^-, Re s>0.
В обозначениях Уиттекера основные формулы могут быть записаны следующим образом:
He2^Mx, ^m= з
= r(a + |i + |-)re_,l~"2>(a+fi4-|, ц-*+2fi +1; (12)
¦ Re ^ + ц + І-}>0, Res>0;
_ _± _ _ __L
= Г (2[t + 1) ^s — X —і J" " 2(S_X+I) 2, (13)
ReH- >—, Res> ReX--I;
? rfc + ^+Drfa-f!+ J) _e_ 3
X^a + I» + !-, f*-* + ^; «-% + 2; I-S-1), (14) Re ^a Hh [t + y) > Re S > 0.
Из теоремы умножения (2) и формулы (6) вытекает интегральная теорема сложения для функции Ф: t
Г/С—1
(• не-1 и_(ЛС-1
J тФ{а, с-, ")??" t-u)du =
/С+С-1
Ф (a + а', с + с'; t), Rec>0, Rec'>0. (15)
Г (с+ С) «.11] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 259
Отметин особо частный случай а' = 0:
t
J ат-і (і — iif-\~l Ф (a, Y; a) da =
= Г(7)Г(с)"Т) ф (°' ')^1. Ree > Re Т>0. (16)
6.11. Интегральные представления
В этом пункте основные интегральные представления будут обобщены путем введения контурных интегралов, а также будут получены дальнейшие интегральные представления.
6.11.1. Функция Ф. Интегральное представление 6.5(1) основано на интеграле Эйлера первого рода 1.5(1) для бета-функции. Ограничения, наложенные на параметры, могут быть сняты полностью или частично путем введения контурных интегралов, как это было сделано в п. 1.6. Применяя вместо 1 5(1) формулы 1.6(6), 1.6(7) или 1.6(8), приходим к интегральным представлениям
Ф (а, с; х) = (2яі)-*егНс Г (1 — а) Г (с) Г (1 -f а — с) х
(1+, 0+, 1-, о-) X J е*Ча~1 (1 — tf-"'1 dt, (1)
Ф (а, с; + V (t— 1Г"-' dt (?)
и
(0+)
Ф(а, с; х) = - JLV (1 -tr«-> dt, (3)
Re (с — а) > 0.
В формуле (1) контур интегрирования является двойной петлей (рис. 4), начинающейся в точке А между 0 и 1 на вещественной оси t, обходящей
(1+,0+,1-0-)
Рис. 4. Области сходимости.
сначала точку < = 1 в положительном направлении, потом t== 0 в положительном направ тении, далее t= \ в отрицательном направлении и, наконец, I = Ob отрицательном направлении и заканчивающейся в точке А. При этом в начальной точке полагают arg t = arg (1—^) = 0.
В интеїрале (2) контур является петлей, которая начинается и заканчивается в точке (=0 и обходит точку 1 в положительном направлении. 260 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " ІГл. в
Это же имеет место в формуле (3), где 0 и 1 меняются ролями. Все степени понимаются в формулах (2) и (3) в смысле главного значения.
Функция Ф может быт 6.10(16), где -у = 2а, и 6.9(10
Г (а) Г (с — 2а) Ф (а, с; х) =
Функция Ф может быть также выражена через функции Бесселя. Из 6.10(16), где 7 = 2а, и 6.9(10) имеем
__„ 1 JLjrf -I = YnT(C)X* aJe2 t 2 <1-(T1^eel ("g-Jrt) Л, (4)
Re с > 2, Re а > 0,
Г(е — я)Ф(я, с; х) =
с і
¦ —а—j
= T (C)CXVx^y-H* 2 7С_, [2 Vxi\ dt, (5)
Re с > Re а > 0, RejoO.
Дальнейшие интегральные представления могут быть получены с помощью комплексной формулы обращения 6.10(3), преобразования Лапласа 6.10(5), где к = 1, и 6.10(6)
1 1+Ґ Ф (а, с; t) = Г (b) t1^ j- esis~b F (a, b; с; s"1) ds, (6)
т — і OO
Re ? > О, т>1,
1 ' т+г00
Ф(а, с; Ц = 2-{Т(с)Р~с J ests~c(1 — s-1)~°ds, (7)
T — Ioo
Rec> 0, 7>1.
Если в формуле (6) b = n-\-1, л = 0, 1, ... , то подынтегральная функция явлкется одьозначной функцией от s, и путь интегрирования может быть заменен замкнутым контуром, например кругом,
Ф (а, с-, t) = лі t~" J ests-n~l F (а, л + 1; с; s"1) ds, (8)
2л/
я = 0, 1, 2, ...
6.11.2. Фукция 7. Аналогичное исследование функции У приводит к следующим интегральным представлениям:
10+)
W (а, с; лг) = ^-^*'Г(1 — а) 1 (1 -}-dt, (9)
оое'>
— -*- < <f -)- arg X < -* , arg t = ip в начальной точке пути; Г(а)Г(а — с + 1)Ф"(в, е; *) =
I. _?оо
= 2л:а 2^ е~Ч 2 2ZTf-, [2 Vxt\ dt, (10) Re а > 0, Re(a — с)> — 1; «.11]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
261
оо
Г(й)?(а, с, x)r=xa-by-xttb-1F(a, а —с+1; Ь; — t)dt, (11)
Re Ь > 0, Re X > 0;
Г{в + й-г + 1)?(а, с; /) = 5ігГ<6)Г(6 —с + X
Т + ІОО
X V ests~bF{a, Ir, a + ?-с + 1; 1 — s"1)rfs, (12)
Y-Ioo
Re й > О, Re(b—с)> — 1, 7>у-
При X > О из формулы 6.5(2) вытекает следующее интегральное представление. Предположим, что Re а > 0, Re с < 1 и х > 0. Тогда можно преобразовать путь интегрирования в отрезок вещественной оси от точки <=0 до
t= — у н луч от t = — — до t — —+1 оо. Вдоль ^O, — tZ=Uellc, вдоль ^—, —у+ icoj
положим положим
gl <я-в)
'="2смв '
Тогйа получим
J_ 2
Itrina Г (в) ? (в, с; х) =^ g-*xua-i (1 _u)"-a-ldu ¦
