Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
! С , I -\- \k 1 =----In —---.
2\k I — \k
При сравнении с уравнением (2.20) видно, что простой полюс находится в точке k = k0 = i/v0.
63
Интеграл вдоль первоначального пути равен интегралу по измененному пути плюс 2яі, умноженное на вычет в точке &0- Второе слагаемое представляет собой асимптотическую часть решения уравнения (2.48), а интегрирование вдоль разреза дает переходную часть. Вклад вычета в полный поток есть
і
фАс(х) = — \ Iim [k----------іF(k,x),
2 k-*¦ i/v# \ Vo /
где F (k, X) — подынтегральное выражение в (2.48). Оказывается, что
Im к
ДесрормираЗан-ный путь
Пербеначальный пут о
Ii-H
/ очка -ветвления при к = і
(2.49)
Простой попюс ,при к0 = Lj\)0
Re к
P и с. 2.2. Контур интегрирования.
Вводя Nft, определенное выражением (2.33), нетрудно убедиться, что (2.49) совпадает с асимптотическим вкладом в полный поток при изотропном плоском источнике, расположенном при х = О, описываемом (2.40).
Контур интегрирования на рис. 2.2 применим только для х > 0. Для х < 0 подобный контур может быть построен в нижней полуплоскости, при этом вклад вычета оказывается совпадающим с (2.49), независимо от знака х.
Переходная часть решения уравнения (2.48) равна сумме вкладов от каждой из сторон разреза, сделанного вдоль мнимой оси. Интеграл по левой стороне
, ±1 г «ром |П!+1И г,
An J L \k I — іL 2і& \—\k\
— joo
а по правой
Z2 =
= _L Г Г exp (\kx) )n 1 +ifeIf1_c ]n I + ife [-
4rcJ L I — L 2i& 1-ійJ
Логарифмический член в обоих интегралах In [(1 + \k)l(\—\k)] на двух сторонах разреза отличается на 2яі. Если ввести —Z = I + \k, то
In —————1 =—і тс -{— In Z для /,;
1-і* 2+2 1
In = ІЛ + In —для /,.
l — ik ^ 2 + Z 2
Интегралы I1 и I2 теперь могут быть объединены:
OO
Фп(х)= J'
2 (Z + 1) ехр [ — (Z + l) I дг |]
[2 (Z +1) -с In (1 + 2/2)J2 + (сп)г
dZ.
(2.50)
При переходе к переменной V = 1/(1 + Z) интеграл совпадает с тем, который фигурирует в уравнении (2.40). Таким образом, найденный этим методом результат идентичен с результатом, полученным с помощью метода разделения переменных.
64
При рассмотрении уравнения (2.50) можно определить некоторые свойства переходного решения. Когда х мало, т. е. вблизи источника, основной вклад в интеграл обусловлен большими Z. Тогда
Ф д (Jg) —> Г6ХР [~(Z +1} 1 dZ = — E1 (I х 1), (2.51)
Гп *-oJ 2 (Z +1) 2 14 17 v '
о
где E1 — интегральная показательная функция (см. Приложение). Покажем теперь, что выражение (2.51) описывает поток нейтронов источника, не испытавших ни одного столкновения.
Интегральная форма уравнения переноса (1.37) для плоского изотропного источника в бесконечной среде может быть записана [для фиксированной энергии и для расстояний, измеряемых в средних длинах свободного пробега (см. разд. 2.1.3)] следующим образом:
OO
ф W = Y Jj q (х') ElQx-x'\)dx'.
—OO
Если ф (х) описывает только нерассеянные нейтроны, q (х') не должно включать нейтроны, появившиеся при рассеянии, и
q {х') = 6 (х')>
так что
Ф W=YeI(IxI)-
Результат, совпадающий с (2.51), есть поток не испытавших ни одного столкновения нейтронов в точке х, за счет источника, расположенного при х = 0. Поскольку E1 имеет особенность при х = 0, очевидно, что поток нерассеянных нейтронов, представляющий собой переходную часть решения уравнения
(2.48), преобладает вблизи источника. Можно также отметить, что при с = О уравнение (2.50) дает
ф B(x) = -L E1(X)
для всех х. Так как асимптотический поток в этом случае равен нулю (см. разд. 2.2.3), то поток состоит, как и следовало ожидать, из нерассеянных нейтронов.
Когда х велико, основной вклад в (2.50) обусловлен малыми значениями Z, и переходная часть полного потока убывает как ехр (—|х|) при х -> оо, следовательно, она убывает с удалением от источника быстрее, чем асимптотическое решение. Такой же вывод был сделан в разд. 2.2.3.
Полученные выше результаты позволяют предложить физическую интерпретацию асимптотической и переходной частей решения уравнения (2.48). Асимптотический поток описывает распределение нейтронов, обусловленное рассеянием нейтронов в среде. Его зависимость от координаты и угла определяется свойствами среды, т. е. с, и он не зависит (за исключением нормировки) от источника. Иначе говоря, асимптотический поток описывает равновесное распределение,
Переходная же часть описывает отклонение потока от равновесного, вызванное наличием источника нейтронов. Поэтому переходный поток зависит и от источника, и от свойств среды. При с = 0, т. е. для чисто поглощающей среды, источник определяет поток нейтронов на всех расстояниях, поскольку в этом случае не приходится говорить о равновесном распределении, и асимптотическая часть решения уравнения (2.48) отсутствует.
При малых значениях с переходный поток велик по сравнению с асимптотическим, даже на расстоянии нескольких длин свободного пробега от источника; это видно из данных, приведенных для плоского
65
Таблица 2.2
Значения Фас/Ф Для плоского изотропного источника [15]
